《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 阅读下列材料：将一个多项式因式分解的方法中我们已经学过提公因式法和公式法,其实因式分解的方法还有十字相乘法、分组分解法等,下面介绍十字相乘法。
十字相乘法：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。如：将多项式 $x^{2}+3x + 2$ 和 $2x^{2}+x - 3$ 因式分解,分解如图所示,则 $x^{2}+3x + 2= (x + 1)(x + 2)$；$2x^{2}+x - 3= (x - 1)(2x + 3)$。

请你仿照以上方法把下列多项式因式分解：
(1)$y^{2}+8y + 12$；
(2)$x^{2}+2x - 15$；
(3)$3x^{2}-2x - 1$；
(4)$2x^{2}-7x + 6$。

答案： 1.
(1)(y+2)(y+6).
(2)(x+5)(x-3).
(3)(x-1)(3x+1).
(4)(2x-3)(x-2).

2. 【阅读思考】分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式,比如：项数为 4 的多项式一般按照“两两分组”或“三一分组”进行分组分解。
例 1：“两两分组”分解因式：$ax + ay + bx + by$。
解：原式 $=(ax + ay)+(bx + by)$
$=a(x + y)+b(x + y)$
$=(x + y)(a + b)$。
例 2：“三一分组”分解因式：$2xy + x^{2}-1 + y^{2}$。
解：原式 $=(x^{2}+2xy + y^{2})-1$
$=(x + y)^{2}-1$
$=(x + y + 1)(x + y - 1)$。
【归纳总结】用分组分解法分解因式要先恰当分组,然后用提公因式法或公式法继续分解。
解答下列问题：
(1) 把下列多项式因式分解：
①$x^{2}-xy + 5x - 5y$；
②$m^{2}-n^{2}-6m + 9$。
(2) 已知 $a$,$b$,$c$ 满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2a - 2b - 2c + 3 = 0$,求 $a + b + c$ 的值。

答案： 2.
(1)①(x-y)(x+5). ②(m+n-3)(m-n-3).
(2)3.