《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 下列各式中,是分式方程的是(B)
A.$\frac{16x}{25}= \frac{1}{\pi}$
B.$\frac{2}{x}= \frac{1}{2}$
C.$\frac{x + y}{4}-\frac{1}{9}= 0$
D.$\frac{2}{x}+\frac{2x}{3}$

答案： B

2. [2025·宁乡期末]解分式方程$\frac{x}{2x - 1}+\frac{2}{1 - 2x}= 3$时,去分母化为一元一次方程,正确的是(C)
A.$x + 2 = 3$
B.$x - 2 = 3$
C.$x - 2 = 3(2x - 1)$
D.$x + 2 = 3(2x - 1)$

答案： C

3. [2024·湖南中考]分式方程$\frac{2}{x + 1}= 1$的解为$x = 1$。

答案： $x = 1$

4. [2024·北京中考]方程$\frac{1}{2x + 3}+\frac{1}{x}= 0$的解为$x = -1$（或写为“$-1$”）。

答案： $x = -1$（或写为“$-1$”）

5. 解下列方程：
(1)[2025·岳阳期中]$\frac{5}{x - 1}= \frac{1}{x + 3}$；
(2)$\frac{1}{3x + 1}-\frac{1}{x - 3}= 0$；
(3)$\frac{2x}{x - 2}-\frac{1}{2 - x}= 3$；
(4)[2025·永州蓝山县期中]$\frac{x}{x - 2}-1= \frac{8}{x^2 - 4}$。

答案：
(1)方程两边同乘最简公分母$(x - 1)(x + 3)$，得$5(x + 3) = x - 1$
展开得$5x + 15 = x - 1$
移项合并同类项得$4x = -16$
解得$x = -4$
检验：当$x = -4$时，$(x - 1)(x + 3) = (-5)(-1) = 5 ≠ 0$
∴原方程的解为$x = -4$
(2)移项得$\frac{1}{3x + 1} = \frac{1}{x - 3}$
方程两边同乘最简公分母$(3x + 1)(x - 3)$，得$x - 3 = 3x + 1$
移项合并同类项得$-2x = 4$
解得$x = -2$
检验：当$x = -2$时，$(3x + 1)(x - 3) = (-5)(-5) = 25 ≠ 0$
∴原方程的解为$x = -2$
(3)整理得$\frac{2x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} = 3$
方程两边同乘最简公分母$(x - 2)$，得$2x + 1 = 3(x - 2)$
展开得$2x + 1 = 3x - 6$
移项合并同类项得$-x = -7$
解得$x = 7$
检验：当$x = 7$时，$x - 2 = 5 ≠ 0$
∴原方程的解为$x = 7$
(4)方程两边同乘最简公分母$(x - 2)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 2)(x + 2) = 8$
展开得$x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 8$
化简得$2x + 4 = 8$
解得$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x - 2)(x + 2) = 0$
∴$x = 2$是增根，原方程无解

6. 新考向 过程性学习·步骤纠错 小丽解分式方程$1-\frac{x - 3}{2x + 2}= \frac{3x}{x + 1}$的过程如下：
解：由于最简公分母为$2(x + 1)$,于是将方程两边同乘$2(x + 1)$,得$2(x + 1)-(x - 3)= 3x$,…… 第一步
解得$x= \frac{5}{2}$。 ……………………………… 第二步
因此原方程的解是$x= \frac{5}{2}$。 ………………… 第三步
(1)小丽的解答过程从第一步开始出错,这一步的依据是等式的基本性质（方程两边同乘最简公分母2(x+1)时，右边3x/(x+1)未乘2，导致右边应为6x而不是3x）；
(2)小丽的解答过程缺少的必需步骤是检验（或验根）；
(3)请写出正确的解题过程。
解：最简公分母为2(x+1)，方程两边同乘2(x+1)，得2(x+1)-(x-3)=6x
去括号：2x+2-x+3=6x
合并同类项：x+5=6x
移项：5x=5
解得：x=1
检验：当x=1时，2(x+1)=4≠0，
∴原方程的解为x=1

答案：
(1)一；等式的基本性质（方程两边同乘最简公分母2(x+1)时，右边3x/(x+1)未乘2，导致右边应为6x而不是3x）
(2)检验（或验根）
(3)解：最简公分母为2(x+1)，方程两边同乘2(x+1)，得2(x+1)-(x-3)=6x
去括号：2x+2-x+3=6x
合并同类项：x+5=6x
移项：5x=5
解得：x=1
检验：当x=1时，2(x+1)=4≠0，
∴原方程的解为x=1