《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

[2025·常德临澧县期末改编]为了测量一条两岸平行的河流的宽度,三个数学活动小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点$B处测得河北岸的树A恰好在B$的正北方向,测量方案如下表：

(1)由第一小组的方案可知,河宽$AB$的长度就是线段BC的长度；第二小组测得$BC = 30m$,则$AB = $30$m$。
(2)第三小组在实际测量中,从点$C走到点F处时发现前方有大石头G$挡路(如图④),他们商议后决定改变路线,测得$∠BAO = 35^{\circ}$后,他们向右转$110^{\circ}(∠GFH = 110^{\circ})继续前行至点H$,使点$A$,$O$,$H$在一条直线上。他们认为只要测得$CF和FH的长就可求出河宽AB$的长,你认为他们的方案是否可行？如果可行,请给出证明；如果不可行,请说明理由。

第三小组的方案可行.证明如下:
如图④,延长AH交CF的延长线于点E.
因为O是BC的中点，AB⊥BC,CE⊥BC，
所以OB=OC,∠ABO=∠ECO=90°.
在△ABO和△ECO中，{∠ABO=∠ECO,
OB=OC,
∠AOB=∠EOC,
所以△ABO≌△ECO(角边角).
所以AB=EC,∠E=∠BAO=35°.
所以在△EFH中,
∠FHE=180°−∠E−∠EFH=180°−35°−110°=35°.
所以∠FHE=∠E,所以EF=FH.
所以CE=CF+EF=CF+FH,所以AB=CF+FH.
故第三小组的方案可行.
(3)请你设计一个测量方案,在图⑤中画出示意图,指明只要测出哪条线段的长,就能推算出河宽$AB$的长,并证明方案的可行性。
如图⑤,观测者从B点向正西走到C点,使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB,CD交AB的延长线于点D,只要测出DB的长，就能推算出河宽AB的长.
证明如下:
因为AB⊥BC,所以∠ABC=∠DBC=90°.
在△ABC和△DBC中，{∠ABC=∠DBC,
BC=BC,
∠ACB=∠DCB,
所以△ABC≌△DBC(角边角),所以AB=DB.
所以河宽AB的长等于线段DB的长.

答案：
(1)BC　30
(2)第三小组的方案可行.证明如下:
如图④,延长AH交CF的延长线于点E.
因为O是BC的中点，AB⊥BC,CE⊥BC，
所以OB=OC,∠ABO=∠ECO=90°.
在△ABO和△ECO中，{∠ABO=∠ECO,
OB=OC,
∠AOB=∠EOC,
所以△ABO≌△ECO(角边角).
所以AB=EC,∠E=∠BAO=35°.
所以在△EFH中,
∠FHE=180°−∠E−∠EFH=180°−35°−110°=35°.
所以∠FHE=∠E,所以EF=FH.
所以CE=CF+EF=CF+FH,所以AB=CF+FH.
故第三小组的方案可行.
(3)如图⑤,观测者从B点向正西走到C点,使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB,CD交AB的延长线于点D,只要测出DB的长，就能推算出河宽AB的长.
证明如下:
因为AB⊥BC,所以∠ABC=∠DBC=90°.
在△ABC和△DBC中，{∠ABC=∠DBC,
BC=BC,
∠ACB=∠DCB,
所以△ABC≌△DBC(角边角),所以AB=DB.
所以河宽AB的长等于线段DB的长.