《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

8. 一辆汽车开往距离出发地$180\mathrm{km}$的目的地,原计划全程匀速行驶。出发后,先按原计划的速度匀速行驶$1\mathrm{h}$,随后以原计划的速度的$1.5$倍匀速行驶,结果比原计划提前$40\mathrm{min}$到达目的地。求原计划的行驶速度。

答案： 设原计划的行驶速度为$x\ km/h$，则实际第二段行驶速度为$1.5x\ km/h$。
原计划行驶时间为$\frac{180}{x}\ h$。
实际行驶情况：第一段行驶$1\ h$，路程为$x\ km$，剩余路程为$(180 - x)\ km$，第二段行驶时间为$\frac{180 - x}{1.5x}\ h$，实际总时间为$1 + \frac{180 - x}{1.5x}\ h$。
已知提前$40\ min=\frac{2}{3}\ h$，依题意得：
$\frac{180}{x} - \left(1 + \frac{180 - x}{1.5x}\right) = \frac{2}{3}$
方程两边同乘$3x$（$x \neq 0$）：
$3x \cdot \frac{180}{x} - 3x \left(1 + \frac{180 - x}{1.5x}\right) = 3x \cdot \frac{2}{3}$
化简得：
$540 - 3x - 2(180 - x) = 2x$
$540 - 3x - 360 + 2x = 2x$
$180 - x = 2x$
解得$x = 60$。
检验：当$x = 60$时，$3x = 180 \neq 0$，原方程的解为$x = 60$。
答：原计划的行驶速度为$60\ km/h$。

9. [2025·湘潭雨湖区期中]在某段高速公路修建过程中,需要打通一条隧道,施工方有两个工程队可供选择。若甲工程队单独施工,恰好能在规定的时间内完成；若乙工程队单独施工,则需要的天数是甲工程队的$1.5$倍；若甲、乙两个工程队合作15天,余下的任务甲工程队单独完成,仍需要5天。
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)经过预算,甲工程队每天的施工费用是7000元,乙工程队每天的施工费用是4000元,为了尽可能缩短施工时间,施工方打算让两个工程队合作完成,打通这条隧道的施工费用是多少？

答案：
(1) 设甲工程队单独完成此项工程需要 $x$ 天，则乙工程队单独完成需要 $1.5x$ 天。
根据题意，甲、乙合作15天，余下甲单独完成5天，可以列出方程：
$\frac{15}{x} + \frac{15}{1.5x} + \frac{5}{x} = 1$，
$\frac{15+5}{x} + \frac{15}{1.5x} = 1$，
$\frac{20}{x} + \frac{10}{x} = 1$，
$\frac{30}{x} = 1$，
解得 $x = 30$。
经检验，$x = 30$ 是原方程的解，且符合题意。
$1.5x = 1.5 × 30 = 45$。
答：甲工程队单独完成此项工程需要 30 天，乙工程队单独完成需要 45 天。
(2) 设两个工程队合作完成此项工程需要 $y$ 天。
根据题意，合作的工作效率为 $\frac{1}{30} + \frac{1}{45}$，所以：
$y × \left( \frac{1}{30} + \frac{1}{45} \right) = 1$，
$y × \frac{1}{18} = 1$，
解得 $y = 18$。
所需施工费用为：$7000 × 18 + 4000 × 18 = 198000$ (元)。
答：打通这条隧道的施工费用是 198000 元。

10. 金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车。

(1)用含$a$的代数式表示新能源车的每千米行驶费用。
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的多$0.54$元。
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元,每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低？(年费用= 年行驶费用+年其他费用)
(1) $\frac{36}{a}$元
(2)① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元
② 每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低

答案：
(1) 新能源车的每千米行驶费用为 $\frac{60 × 0.6}{a} = \frac{36}{a}$ 元。
（2）①根据题意，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 $0.54$ 元，即：
$\frac{360}{a} - \frac{36}{a} = 0.54$，
$\frac{324}{a} = 0.54$，
$a = \frac{324}{0.54}$，
$a = 600$，
将 $a = 600$ 代入各费用公式，得：
燃油车每千米行驶费用：$\frac{360}{600} = 0.6$（ 元），
新能源车每千米行驶费用：$\frac{36}{600} = 0.06$（ 元），
所以燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元。
②设每年行驶里程为 $x$ 千米，根据年费用公式，有：
燃油车年费用：$0.6x + 4800$，
新能源车年费用：$0.06x + 7500$，
要使新能源车年费用更低，则：
$0.6x + 4800 ＞ 0.06x + 7500$，
$0.54x ＞ 2700$，
$x ＞ 5000$，
所以每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低。