《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

9. [整体思想]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$BC = 5$,$AC = 4$,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,在$AB上截取AE = AC$,则$\triangle BDE$的周长为(B)

A.$8$
B.$7$
C.$6$
D.$5$

答案： B

10. [2025·邵阳大祥区期末]如图,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC= \angle DAE$,$B$,$D$,$E$三点在一条直线上.若$\angle 1 = 25^{\circ}$,$\angle 2 = 30^{\circ}$,则$\angle 3$的度数为55°.

答案： 55°

11. 如图是由四个相同的小正方形组成的网格图,则$\angle 1+\angle 2= $180$^{\circ}$.

答案： 180

12. 如图,在$\triangle PAB$中,$\angle A= \angle B$,$M$,$N$,$K分别是PA$,$PB$,$AB$上的点,且$AM = BK$,$BN = AK$.若$\angle MKN = 44^{\circ}$,则$\angle P$的度数为92°.

答案： 92°

13. 如图,在$\triangle ABC$中,过点$C作CD// AB$,且$CD = BC$,点$E在BC$上,且$EC = AB$,连接$DE$,$BD$.
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle ECD$；

(2)若$\angle A = 90^{\circ}$,$CD = 5$,$AC = 4$,求$\triangle BCD$的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$CD// AB$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ABC=\angle ECD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ECD$中：
已知$AB = EC$（条件给出），$\angle ABC=\angle ECD$（已证），$BC = CD$（条件给出）。
根据三角形全等判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle ECD(SAS)$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle ECD$，所以$AC = ED$，$\angle A=\angle CED$。
已知$\angle A = 90^{\circ}$，$AC = 4$，所以$ED = 4$，$\angle CED = 90^{\circ}$，即$DE\perp BC$。
又因为$CD = BC = 5$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = BC$，$h = DE$）。
所以${S}_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}× BC× DE$。
把$BC = 5$，$DE = 4$代入可得：${S}_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}×5×4 = 10$。
综上，（1）已证明$\triangle ABC\cong\triangle ECD$；（2）$\triangle BCD$的面积为$10$。

14. 新考向 类比探究 在$\triangle AOB和\triangle COD$中,$OA = OB$,$OC = OD$.
(1)如图①,若$\angle AOB= \angle COD = 60^{\circ}$.
①求证：$AC = BD$；
②求$\angle APB$的度数.
(2)如图②,若$\angle AOB= \angle COD= \alpha$,则$\angle APB$的度数为$\alpha$.

(1)①证明：因为$\angle AOB=\angle COD = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle AOC=\angle BOD\\OC = OD\end{array}\right.$。根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。由全等三角形的性质可知$AC = BD$。②解：因为$\triangle AOC\cong\triangle BOD$，所以$\angle OAC=\angle OBD$。在$\triangle AOP$和$\triangle BPP$中，$\angle APO+\angle OAC+\angle AOB=\angle BPO+\angle OBD+\angle APB$（三角形内角和与对顶角相等）。又因为$\angle APO=\angle BPO$（对顶角相等），$\angle OAC=\angle OBD$，$\angle AOB = 60^{\circ}$。所以$\angle APB=\angle AOB = 60^{\circ}$。

答案： 1. （1）①
证明：
因为$\angle AOB=\angle COD = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle AOC=\angle BOD\\OC = OD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AOC\cong\triangle BOD$。
由全等三角形的性质可知$AC = BD$。
2. （1）②
解：
因为$\triangle AOC\cong\triangle BOD$，所以$\angle OAC=\angle OBD$。
在$\triangle AOP$和$\triangle BPP$中，$\angle APO+\angle OAC+\angle AOB=\angle BPO+\angle OBD+\angle APB$（三角形内角和与对顶角相等）。
又因为$\angle APO=\angle BPO$（对顶角相等），$\angle OAC=\angle OBD$，$\angle AOB = 60^{\circ}$。
所以$\angle APB=\angle AOB = 60^{\circ}$。
3. （2）
解：
因为$\angle AOB=\angle COD=\alpha$，所以$\angle AOB+\angle BOC=\angle COD+\angle BOC$，即$\angle AOC=\angle BOD$。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle AOC=\angle BOD\\OC = OD\end{array}\right.$，$\triangle AOC\cong\triangle BOD(SAS)$。
所以$\angle OAC=\angle OBD$。
在$\triangle AOP$和$\triangle BPP$中，$\angle APO+\angle OAC+\angle AOB=\angle BPO+\angle OBD+\angle APB$（三角形内角和与对顶角相等）。
又因为$\angle APO=\angle BPO$（对顶角相等），$\angle OAC=\angle OBD$。
所以$\angle APB=\angle AOB=\alpha$。
故答案依次为：（1）①证明见上述过程；②$60^{\circ}$；（2）$\alpha$。