《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. [2024·包头中考]先化简,再求值：$(x + 1)^2 - 2(x + 1)$,其中 $x = 2\sqrt{2}$.

答案： 解：$(x+1)^{2}-2(x+1)=x^{2}+2x+1-2x-2=x^{2}-1$.当$x=2\sqrt{2}$时，$x^{2}-1=(2\sqrt{2})^{2}-1=8-1=7$.

2. 先化简,再求值：$(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{2x}{x^2 - 4x + 4}$,其中 $x = \sqrt{2} - 2$.

答案： 解：原式$=\left[\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}+\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}\right]÷\frac{2x}{(x-2)^{2}}$$=\frac{2x}{(x+2)(x-2)}\cdot\frac{(x-2)^{2}}{2x}$$=\frac{x-2}{x+2}$.当$x=\sqrt{2}-2$时，$\frac{x-2}{x+2}=\frac{\sqrt{2}-2-2}{\sqrt{2}-2+2}=\frac{\sqrt{2}-4}{\sqrt{2}}=1-2\sqrt{2}$.

3. [2025·长沙雨花区期末]已知 $x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$,$y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$,求下列各式的值.
(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$；
(2) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$.

答案：
(1)$2\sqrt{7}$.
(2)12.

4. [2025·怀化期末]对于任意不相等的两个数 $a$,$b$,定义一种运算※如下：$a※b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$,如 $5※4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = 3$,那么 $(2 - \sqrt{3})※(7※5) = $$-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

答案： $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

5. 【阅读材料】像 $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$,$\sqrt{\sqrt{48} - \sqrt{45}}$,…这样的根式叫作复合二次根式.有一些复合二次根式可以通过构造完全平方式进行化简,如：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$.再如：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{6} + 2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
【理解运用】化简下列二次根式：
(1) $\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}$；
(2) $\sqrt{14 - 8\sqrt{3}}$.

答案：
(1)$\sqrt{3}+\sqrt{7}$.
(2)$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$.