《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”。下列分式中,是“和谐分式”的是(C)
A.$\frac{x^2 - y^2}{x - y}$
B.$\frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$
C.$\frac{4x + 2y}{x^2 - 4y^2}$
D.$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{2x - 2y}$

答案： C

2. [2025·长沙市长郡中学期末]定义一种新运算：对于任意非零实数$a$,$b$,$a※b= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。若$(x + 1)※2 = 1$,则$x$的值为1。

答案： 1

3. [2025·邵阳新邵县期末]定义：若两个分式的和为$n$($n$为正整数),则称这两个分式互为“$n$阶分式”,例如：分式$\frac{3}{x + 1}+\frac{3x}{1 + x}= \frac{3(x + 1)}{x + 1}= 3$,所以分式$\frac{3}{x + 1}与\frac{3x}{1 + x}$互为“3阶分式”。
(1)分式$\frac{8x}{3 + 2x}$与12/(3+2x)互为“4阶分式”；
(2)设正数$x$,$y$互为倒数,求证：分式$\frac{2y}{x^2 + y}与\frac{2x}{x + y^2}$互为“2阶分式”；
证明:由题意得xy=1,则y=1/x.把y=1/x代入2y/(x²+y)+2x/(x+y²),得(2/x)/(x²+1/x)+2x/(x+(1/x)²)=2/(x³+1)+2x³/(x³+1)=2(x³+1)/(x³+1)=2,所以2y/(x²+y)与2x/(x+y²)互为"2阶分式".
(3)若分式$\frac{a}{a + 4b^2}与\frac{8b}{a^2 + 8b}$互为“1阶分式”(其中$a$,$b$为正数),则$ab$的值为2。

答案：
(1)12/(3+2x)
(2)证明:由题意得xy=1,则y=1/x.把y=1/x代入2y/(x²+y)+2x/(x+y²),得(2/x)/(x²+1/x)+2x/(x+(1/x)²)=2/(x³+1)+2x³/(x³+1)=2(x³+1)/(x³+1)=2,所以2y/(x²+y)与2x/(x+y²)互为"2阶分式".
(3)2

4. [2025·永州冷水滩区期末]对于一些特殊的方程,我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解,则称这两个方程为“相似方程”,②若两个方程有相同的整数解,则称这两个方程为“相伴方程”。
(1)判断一元一次方程$3 - 2(1 - x)= x与分式方程\frac{x + 1}{x + 2}-1= \frac{3}{x - 2}$是否是“相似方程”,并说明理由。
(2)是否存在实数$a$,使关于$x的一元一次方程(2 - a)x + 2 = x与分式方程\frac{x - a}{x - 2}-\frac{2}{x}= 1$是“相伴方程”？若存在,请求出$a$的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)一元一次方程3-2(1-x)=x与分式方程(x+1)/(x+2)-1=3/(x-2)是"相似方程".理由略.
(2)不存在.理由略.