《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

【变式训练3】
如图,$AB = AE$,$AB\perp AE$,$AD = AC$,$AD\perp AC$,$M$ 为 $BC$ 的中点,求证：$DE = 2AM$。

答案： 延长AM至点N，使MN=AM，连接BN，则AN=2AM。
∵M为BC中点，
∴BM=CM。 在△AMC和△NMB中， $\left\{\begin{array}{l} AM=NM \\ ∠AMC=∠NMB \\ CM=BM\end{array}\right.$
∴△AMC≌△NMB（SAS）。
∴BN=AC，∠NBM=∠C。
∵AD=AC，
∴BN=AD。
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠BAE=∠CAD=90°。 在△ABC中，∠ABC+∠C=180°-∠BAC，
∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC。
∵∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD-∠BAC=360°-90°-90°-∠BAC=180°-∠BAC，
∴∠ABN=∠EAD。 在△ABN和△EAD中， $\left\{\begin{array}{l} AB=EA \\ ∠ABN=∠EAD \\ BN=AD\end{array}\right.$
∴△ABN≌△EAD（SAS）。
∴AN=ED。
∵AN=2AM，
∴DE=2AM。

【例3】[一题多解]如图,$AE\perp BE$,$AE$ 和 $BE$ 分别平分 $\angle CAB$ 和 $\angle DBA$,$CD$ 经过点 $E$。求证：$AB = AC + BD$。将下列两种证法补充完整。
证法一(截长法)：如图①,在 $AB$ 上截取 $AF = AC$,连接 $EF$。

证法二(补短法)：如图②,延长 $AC$ 至点 $F$,使 $AF = AB$,连接 $EF$。

【变式训练4】
如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AD$,$CE$ 分别平分 $\angle BAC$,$\angle ACB$,且相交于点 $P$。若 $AE = 4$,$CD = 6$,求线段 $AC$ 的长。

答案： 证法一：1.
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAE。2. 在△ACE和△AFE中，AC=AF，∠CAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ACE≌△AFE(SAS)。3.
∴∠AEC=∠AEF，CE=EF。4.
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEF+∠BEF=90°，∠AEC+∠BEC=90°。5.
∵∠AEC=∠AEF，
∴∠BEF=∠BEC。6.
∵BE平分∠DBA，
∴∠FBE=∠DBE。7. 在△BEF和△BED中，∠FBE=∠DBE，BE=BE，∠BEF=∠BED，
∴△BEF≌△BED(ASA)。8.
∴BF=BD。9.
∵AB=AF+BF，AF=AC，
∴AB=AC+BD。证法二：1.
∵AE平分∠CAB，
∴∠FAE=∠BAE。2. 在△AFE和△ABE中，AF=AB，∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AFE≌△ABE(SAS)。3.
∴EF=EB，∠F=∠ABE，∠AEF=∠AEB=90°。4.
∵BE平分∠DBA，
∴∠ABE=∠DBE，
∴∠F=∠DBE。5.
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC=180°-∠AEF=90°，又∠AEB=90°，
∴∠DEB=90°，
∴∠FEC=∠DEB。6. 在△FEC和△DEB中，∠F=∠DBE，∠FEC=∠DEB，EF=EB，
∴△FEC≌△DEB(AAS)。7.
∴FC=BD。8.
∵AF=AC+FC，AF=AB，
∴AB=AC+BD。
@@10.