《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. [一题多解]如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ E $ 在边 $ AC $ 的延长线上,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,$ DE $ 交 $ BC $ 于点 $ F $,且 $ DF = EF $。求证：$ BD = CE $。

答案： 方法一：
证明：过点$ D $作$ DG // AC $，交$ BC $于点$ G $。
∵$ DG // AC $，
∴$ \angle DGB = \angle ACB $（两直线平行，同位角相等）。
∵$ AB = AC $，
∴$ \angle B = \angle ACB $（等边对等角）。
∴$ \angle DGB = \angle B $，
∴$ BD = DG $（等角对等边）。
∵$ DG // AC $，
∴$ \angle GDF = \angle E $，$ \angle DGF = \angle ECF $（两直线平行，内错角相等）。
在$ \triangle DGF $和$ \triangle ECF $中，
$ \begin{cases} \angle GDF = \angle E, \\\angle DGF = \angle ECF, \\DF = EF, \end{cases} $
∴$ \triangle DGF \cong \triangle ECF $（AAS）。
∴$ DG = CE $。
∵$ BD = DG $，
∴$ BD = CE $。
方法二：
证明：过点$ E $作$ EH // AB $，交$ BC $的延长线于点$ H $。
∵$ EH // AB $，
∴$ \angle B = \angle H $（两直线平行，同位角相等）。
∵$ AB = AC $，
∴$ \angle B = \angle ACB $（等边对等角）。
∵$ \angle ACB = \angle ECH $（对顶角相等），
∴$ \angle H = \angle ECH $。
∴$ CE = EH $（等角对等边）。
∵$ EH // AB $，
∴$ \angle BDF = \angle HEF $（两直线平行，内错角相等）。
在$ \triangle DFB $和$ \triangle EFH $中，
$ \begin{cases} \angle BDF = \angle HEF, \\DF = EF, \\\angle DFB = \angle EFH, \end{cases} $
∴$ \triangle DFB \cong \triangle EFH $（ASA）。
∴$ BD = EH $。
∵$ CE = EH $，
∴$ BD = CE $。

2. 新考向 类比探究 [2025·常德期末]如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ AC $ 边上(不与点 $ A $,$ C $ 重合),延长 $ BC $ 至点 $ E $,使 $ CE = AD $,连接 $ DE $。

(1)如图①,当 $ D $ 是 $ AC $ 边的中点时,求证：$ DB = DE $。
(2)如图②,当 $ D $ 是 $ AC $ 边上任意一点时,(1)中线段 $ DB $ 与 $ DE $ 的数量关系是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由。

答案：
(1)证明:因为△ABC 是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.因为 D 是 AC 的中点,所以 BD 平分∠ABC,AD=CD,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.因为 AD=CE,所以 CD=CE,所以∠E=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,所以∠DBC=∠E,所以 DB=DE.
(2)解:成立.证明略.

3. [2025·岳阳市岳阳县期末改编]如图,过边长为 $ 2 $ 的等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AB $ 上一点 $ P $ 作 $ PE \perp AC $ 于点 $ E $,$ Q $ 为 $ BC $ 的延长线上一点,当 $ AP = CQ $ 时,连接 $ PQ $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,求 $ DE $ 的长。

答案： 1.
过点$P$作$PF // BC$交$AC$于点$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A = \angle B = \angle ACB = 60°$。
由于$PF // BC$，所以$\angle AFP = \angle ACB = 60°$，$\angle FPD = \angle Q$，$\angle PFD = \angle QCD$。
因此$\triangle APF$是等边三角形，故$AP = PF$。
已知$AP = CQ$，所以$PF = CQ$。
在$\triangle PFD$和$\triangle QCD$中，$\begin{cases}\angle FPD = \angle Q \\ PF = CQ \\ \angle PFD = \angle QCD\end{cases}$，所以$\triangle PFD \cong \triangle QCD$（ASA），则$FD = CD$。
因为$PE \perp AC$，$\triangle APF$是等边三角形，所以$AE = EF$。
因此$AE + CD = EF + FD$，即$AE + CD = ED$。
又因为$AC = AE + ED + CD = 2$，所以$ED + ED = 2$，解得$ED = 1$。
答案：$1$