《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. [2025·贵港期末]如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle CAB= \angle DAE = 36^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$。连接$CD$,连接$BE$并延长,分别交$AC$,$AD于点F$,$G$。若$BE恰好平分\angle ABC$,则下列结论错误的是(C)

A.$\angle ADC= \angle AEB$
B.$CD// AB$
C.$DE = GE$
D.$CD = BE$

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABD和\triangle ACE$中,$AB = AD$,$AC = AE$,$AB＞AC$,$\angle DAB= \angle CAE = 50^{\circ}$,连接$BE$,$CD交于点F$,连接$AF$。下列结论：①$BE = CD$；②$\angle EFC = 50^{\circ}$；③点$A到DC和BE$的距离相等。其中正确的有①②③(填序号)。

答案： ①②③

3. 如图①,$AC = BC$,$DC = EC$,$\angle ACB= \angle DCE$,连接$AD$,$BE$。

(1)求证：$AD = BE$；
(2)将$\triangle DCE绕点C$旋转到如图②所示的位置,连接$AE$,$BD$。求证：$AE = BD$。

答案：
(1)证明：
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACD=∠BCE \\ DC=EC \end{cases}$，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2)证明：
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE。
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACE=∠BCD \\ EC=DC \end{cases}$，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD。

4. [2025·邵阳新宁县期末]如图,$C为线段AE$上一动点(不与点$A$,$E$重合),在$AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE$,$AD与BE交于点O$,$AD与BC交于点P$,$BE与CD交于点Q$,连接$PQ$。
(1)求证：$AD = BE$；
(2)求$\angle AOB$的度数；
(3)求证：$PQ// AE$。

答案： 1. （1）证明$AD = BE$：
因为$\triangle ABC$和$\triangle CDE$是等边三角形，所以$AC = BC$，$CD = CE$，$\angle ACB=\angle DCE = 60^{\circ}$。
则$\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
所以$AD = BE$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）求$\angle AOB$的度数：
由$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，可得$\angle CAD=\angle CBE$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BOP$中，$\angle APC=\angle BPO$（对顶角相等）。
根据三角形内角和定理$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle OBP-\angle BPO$，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle PAC-\angle APC$。
所以$\angle AOB=\angle ACB$（等量代换）。
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB = 60^{\circ}$。
3. （3）证明$PQ// AE$：
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$\angle ACP=\angle BCQ = 60^{\circ}$，$AC = BC$，$\angle CAP=\angle CBQ$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BCQ$中，$\begin{cases}\angle CAP=\angle CBQ\\AC = BC\\\angle ACP=\angle BCQ\end{cases}$。
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle ACP\cong\triangle BCQ$。
所以$CP = CQ$。
又因为$\angle PCQ = 60^{\circ}$，所以$\triangle PCQ$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
则$\angle PQC=\angle DCE = 60^{\circ}$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$PQ// AE$。
综上，（1）已证$AD = BE$；（2）$\angle AOB = 60^{\circ}$；（3）已证$PQ// AE$。