《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 解下列方程：
(1)[2024·广州中考]$\frac{1}{2x - 5}= \frac{3}{x}$；
(2)[2024·福建中考]$\frac{3}{x + 2}+1= \frac{x}{x - 2}$；
(3)$\frac{2x}{3x + 2}= \frac{x + 1}{3x + 2}-3$；
(4)[2025·永州新田县期末]$\frac{3}{x - 1}= 5+\frac{3x}{1 - x}$；
(5)[2025·铜仁碧江区期末]$\frac{1}{4}-\frac{2}{2x - 1}= \frac{1}{8x - 4}$；
(6)[2025·永州道县期中]$\frac{x}{x + 2}-1= \frac{2}{x^2 + 4x + 4}$；
(7)$\frac{3}{x + 2}+\frac{1}{x}= \frac{4}{x^2 + 2x}$；
(8)$\frac{x}{x^2 - 9}+\frac{3}{x + 3}= \frac{1}{x - 3}$。

答案：
(1)
方程$\frac{1}{2x - 5}= \frac{3}{x}$两边同乘$x(2x - 5)$得：
$x = 3(2x - 5)$
$x = 6x - 15$
$5x = 15$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x(2x - 5)=3×(2×3 - 5)=3\neq0$，所以原方程的解为$x = 3$。
(2)
方程$\frac{3}{x + 2}+1= \frac{x}{x - 2}$两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：
$3(x - 2)+(x + 2)(x - 2)=x(x + 2)$
$3x - 6+x^{2}-4=x^{2}+2x$
$3x - 6+x^{2}-4 - x^{2}-2x = 0$
$x - 10 = 0$
$x = 10$
检验：当$x = 10$时，$(x + 2)(x - 2)=(10 + 2)×(10 - 2)=12×8 = 96\neq0$，所以原方程的解为$x = 10$。
(3)
方程$\frac{2x}{3x + 2}= \frac{x + 1}{3x + 2}-3$两边同乘$3x + 2$得：
$2x = x + 1-3(3x + 2)$
$2x = x + 1-9x - 6$
$2x - x + 9x = 1 - 6$
$10x = -5$
$x = -\frac{1}{2}$
检验：当$x = -\frac{1}{2}$时，$3x + 2=3×(-\frac{1}{2})+2=\frac{1}{2}\neq0$，所以原方程的解为$x = -\frac{1}{2}$。
(4)
方程$\frac{3}{x - 1}= 5+\frac{3x}{1 - x}$可化为$\frac{3}{x - 1}= 5-\frac{3x}{x - 1}$，两边同乘$x - 1$得：
$3 = 5(x - 1)-3x$
$3 = 5x - 5-3x$
$3 = 2x - 5$
$2x = 8$
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 1 = 3\neq0$，所以原方程的解为$x = 4$。
(5)
方程$\frac{1}{4}-\frac{2}{2x - 1}= \frac{1}{8x - 4}$，因为$8x - 4 = 4(2x - 1)$，两边同乘$4(2x - 1)$得：
$(2x - 1)-8 = 1$
$2x - 9 = 1$
$2x = 10$
$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$4(2x - 1)=4×(2×5 - 1)=36\neq0$，所以原方程的解为$x = 5$。
(6)
方程$\frac{x}{x + 2}-1= \frac{2}{x^2 + 4x + 4}$，因为$x^2 + 4x + 4=(x + 2)^2$，两边同乘$(x + 2)^2$得：
$x(x + 2)-(x + 2)^2 = 2$
$x^{2}+2x-(x^{2}+4x + 4)=2$
$x^{2}+2x - x^{2}-4x - 4 = 2$
$-2x = 6$
$x = -3$
检验：当$x = -3$时，$(x + 2)^2=(-3 + 2)^2 = 1\neq0$，所以原方程的解为$x = -3$。
(7)
方程$\frac{3}{x + 2}+\frac{1}{x}= \frac{4}{x^2 + 2x}$，因为$x^2 + 2x = x(x + 2)$，两边同乘$x(x + 2)$得：
$3x+(x + 2)=4$
$3x+x + 2 = 4$
$4x = 2$
$x = \frac{1}{2}$
检验：当$x = \frac{1}{2}$时，$x(x + 2)=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}+2)=\frac{5}{4}\neq0$，所以原方程的解为$x = \frac{1}{2}$。
(8)
方程$\frac{x}{x^2 - 9}+\frac{3}{x + 3}= \frac{1}{x - 3}$，因为$x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)$，两边同乘$(x + 3)(x - 3)$得：
$x+3(x - 3)=x + 3$
$x+3x - 9 = x + 3$
$3x = 12$
$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$(x + 3)(x - 3)=(4 + 3)×(4 - 3)=7\neq0$，所以原方程的解为$x = 4$。

2. 解下列方程：
(1)$\frac{x}{x - 1}-1= \frac{3}{(x + 2)(x - 1)}$；
(2)$\frac{7}{x^2 + x}+\frac{3}{x^2 - x}= \frac{6}{x^2 - 1}$。

答案：
(1)
方程$\frac{x}{x - 1}-1= \frac{3}{(x + 2)(x - 1)}$两边同乘$(x + 2)(x - 1)$得：
$x(x + 2)-(x + 2)(x - 1)=3$
$x^{2}+2x-(x^{2}+x - 2)=3$
$x^{2}+2x - x^{2}-x + 2 = 3$
$x+2 = 3$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 2)(x - 1)=(1 + 2)×(1 - 1)=0$，
所以$x = 1$是增根，原方程无解。
(2)
方程$\frac{7}{x^2 + x}+\frac{3}{x^2 - x}= \frac{6}{x^2 - 1}$可化为$\frac{7}{x(x + 1)}+\frac{3}{x(x - 1)}=\frac{6}{(x + 1)(x - 1)}$
方程两边同乘$x(x + 1)(x - 1)$得：
$7(x - 1)+3(x + 1)=6x$
$7x-7 + 3x+3 = 6x$
$7x+3x-6x=7 - 3$
$4x = 4$
$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x(x + 1)(x - 1)=1×(1 + 1)×(1 - 1)=0$，
所以$x = 1$是增根，原方程无解。