《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 如图,$B是AD$的中点,$BC// DE$,$BC= DE$.求证:$\angle C= \angle E$.

答案： 证明：
∵B是AD的中点，
∴AB=DB。
∵BC//DE，
∴∠ABC=∠D。
在△ABC和△DBE中，
AB=DB，
∠ABC=∠D，
BC=DE，
∴△ABC≌△DBE（SAS）。
∴∠C=∠E。

2. [2023·长沙中考节选]如图,$AB= AC$,$CD\perp AB$,$BE\perp AC$,垂足分别为点$D$,$E$.求证:$\triangle ABE≌\triangle ACD$.

答案： 因为$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，
所以$\angle AEB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}\angle AEB=\angle ADC\\ \angle A = \angle A\\AB = AC\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle ABE≌\triangle ACD$。

3. [2025·邵阳隆回县期末]如图,$\angle A= \angle B$,$AE= BE$,$\angle 1= \angle 2$,点$D在AC$边上.求证:$DE= CE$.

答案： 因为$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle 1 + \angle AED = \angle 2 + \angle AED$，
即$\angle BED = \angle AEC$。
因为$\angle A = \angle B$，$AE = BE$，
在$\triangle BED$和$\triangle AEC$中，
$\begin{cases}\angle B = \angle A, \\ BE = AE ,\\ \angle BED = \angle AEC.\end{cases}$
所以$\triangle BED \cong \triangle AEC(ASA)$。
所以$DE = CE$。

4. [2025·邵东期末]如图,在$\triangle ABC$中,$D是边BC$的中点,$CE\perp AD于点E$,$BF\perp AD于点F$.
(1)求证:$\triangle BDF≌\triangle CDE$;
(2)若$AD= 4$,$CE= 2$,求$\triangle ABC$的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$CE\perp AD$，$BF\perp AD$，所以$\angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}$。
又因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$。
且$\angle BDF=\angle CDE$（对顶角相等）。
在$\triangle BDF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}\angle BFD=\angle CED\\\angle BDF=\angle CDE\\BD = CD\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDF≌\triangle CDE$。
2. （2）解：
因为$\triangle BDF≌\triangle CDE$，所以$BF = CE = 2$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD× BF$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD× CE$。
已知$AD = 4$，$CE = 2$，$BF = 2$。
则$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
所以$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=4 + 4=8$。
综上，（1）已证$\triangle BDF≌\triangle CDE$；（2）$\triangle ABC$的面积为$8$。