《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 如图,△ABC 是等边三角形,D 是 AC 上一点,且∠CBD = 40°,则∠ADB 的度数为 (D)

A.70°
B.80°
C.90°
D.100°

答案： D

2. 如图,△ABC 是等边三角形,AD⊥BC 于点 D. 若 AB = 4,则 CD 的长为 2。

答案： 2

3. [2024·泰安中考改编]如图,直线 l//m,等边三角形 ABC 的两个顶点 B,C 分别落在直线 l,m 上. 若∠ABE = 21°,则∠ACD 的度数是 39°。
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答案： 39°

4. 如图,在等边三角形 ABC 中,AD = BD,∠AFE = 30°. 求证：EF//CD.
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答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，且D为AB中点（AD=BD），
∴CD平分∠ACB（等边三角形三线合一），
∴∠ACD=∠ACB/2=30°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AFE=∠ACD，
∴EF//CD（同位角相等，两直线平行）。

5. [2025·宁乡期中]如图,在四边形 ABCD 中,AB//DC,DB 平分∠ADC,∠A = 60°. 求证：△ABD 是等边三角形.
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答案： 因为$AB// DC$，
所以$\angle ABD=\angle BDC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$DB$平分$\angle ADC$，
所以$\angle BDC = \angle ADB$。
所以$\angle ABD=\angle ADB$（等量代换）。
所以$AB = AD$（等角对等边）。
因为$\angle A=60^{\circ}$，$AB = AD$，
有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，
所以$\triangle ABD$是等边三角形。

6. 下列三角形不一定是等边三角形的是 (D)
A.有两个内角是 60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是 60°的等腰三角形
D.有两个角相等的等腰三角形

答案： D

7. 新考向情境题·落地灯 如图是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆的 CD 部分与支杆的 BC 部分相等,且∠BCE = 120°. 若 CD 的长度为 50 cm,则此时 B,D 两点之间的距离为 (C)

A.40 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

答案： C

8. 如图,在△ABC 中,∠B = 30°,D 为 BC 的中点,AD = BD. 求证：△ACD 是等边三角形.
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答案：
∵D为BC中点，
∴BD=DC。
∵AD=BD，
∴AD=BD=DC，即AD=DC。
在△ABD中，AD=BD，
∴∠B=∠BAD。
∵∠B=30°，
∴∠BAD=30°。
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-30°=120°。
∵∠ADB+∠ADC=180°（邻补角互补），
∴∠ADC=180°-∠ADB=60°。
在△ACD中，AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形。

9. [整体思想]在“玩转数学”活动中,小林剪掉等边三角形纸片的一角,如图所示,发现得到的∠1 与∠2 的和总是一个定值,则∠1 + ∠2 = (B)

A.180°
B.240°
C.270°
D.360°
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答案： B