《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

5. 如图,$AB= CD$,$BC= DA$,$E$,$F是AC$上的两点,且$AE= CF$.求证:$BF= DE$.

答案： 证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle CDA$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\BC = DA, \\AC = CA.\end{cases}$
所以$\triangle ABC \cong \triangle CDA (SSS)$，
所以$\angle BCA = \angle DAC$。
在$\triangle BCF$和$\triangle DAE$中，
$\begin{cases}BC = DA, \\\angle BCA = \angle DAC, \\CF = AE.\end{cases}$
所以$\triangle BCF \cong \triangle DAE (SAS)$。
所以$BF = DE$。

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$E是边BC$上一点,且$BE= CD$,$\angle B= \angle AED= \angle C$.求证:$\triangle ABE≌\triangle ECD$.

答案： 证明：
∵∠B=∠AED=∠C，设∠B=∠C=∠AED=α．
∵B，E，C三点共线，
∴∠AEB+∠AED+∠DEC=180°（平角定义），
∴∠AEB+∠DEC=180°-∠AED=180°-α．
在△ECD中，∠C+∠EDC+∠DEC=180°（三角形内角和定理），
∵∠C=α，
∴∠EDC+∠DEC=180°-α，
∴∠AEB=∠EDC（等量代换）．
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠C（已知），
BE=CD（已知），
∠AEB=∠EDC（已证），
∴△ABE≌△ECD（ASA）．

7. [2025·邵阳新邵县期末]如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,过点$C作CD\perp AB$,垂足为点$D$.在射线$CD上截取CE= CA$,过点$E作EF\perp CE$,交$CB的延长线于点F$.
(1)求证:$\triangle ABC≌\triangle CFE$;
(2)若$AB= 10$,$EF= 6$,求$BF$的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle A+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD+\angle ABC = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle A=\angle BCD$。
又因为$EF\perp CE$，所以$\angle E = 90^{\circ}$，则$\angle E=\angle ACB$。
在$\triangle ABC$和$\triangle CFE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle FCE\\ CE = CA\\ \angle ACB=\angle E\end{array}\right.$
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle CFE$。
2. （2）
因为$\triangle ABC\cong\triangle CFE$，所以$CF = AB$，$BC = EF$。
已知$AB = 10$，$EF = 6$，则$CF = 10$，$BC = 6$。
由$BF=CF - BC$，可得$BF = 10 - 6=4$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\cong\triangle CFE$；（2）$BF$的长为$4$。