《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

5. 先化简,再求值：$(\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{a}{b - a}) ÷ \frac{b^2}{a^2 - ab}$,其中$a$,$b满足\vert a - 2\vert + (b + 1)^2 = 0$。

答案： 解:原式=$\left[\frac{(a+b)(a-b)}{a^{2}-2ab+b^{2}}+\frac{a}{b-a}\right] ÷ \frac{b^2}{a^2 - ab}$$=\left[\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^{2}}+\frac{a}{b-a}\right]\cdot\frac{a(a-b)}{b^{2}}=\left(\frac{a+b}{a-b}-\right.$$\left.\frac{a}{a-b}\right)\cdot\frac{a(a-b)}{b^{2}}=\frac{b}{a-b}\cdot\frac{a(a-b)}{b^{2}}=\frac{a}{b}$.因为a,b满足$|a-2|+(b+1)^{2}=0$,所以$a-2=0$,$b+1=0$,所以$a=2$,$b=-1$.当$a=2$,$b=-1$时,$\frac{a}{b}=\frac{2}{-1}=-2$.

6. [2025·祁阳期末]先化简,再求值：$(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 1}$,其中$a$取最大负整数。

答案： 解:原式=$\left(a + 1 - \frac{3}{a - 1}\right) ÷ \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 1}$$=\left(\frac{a+1}{1}-\frac{3}{a-1}\right)÷\frac{(a+2)^{2}}{a-1}$$=\left(\frac{a^{2}-1}{a-1}-\frac{3}{a-1}\right)\cdot\frac{a-1}{(a+2)^{2}}$$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}\cdot\frac{a-1}{(a+2)^{2}}=\frac{a-2}{a+2}$.因为a取最大负整数,所以$a=-1$.当$a=-1$时,$\frac{a-2}{a+2}=\frac{-1-2}{-1+2}=-3$.

7. [2025·铜仁碧江区期末]先化简$(\frac{m}{m + 3} - \frac{2m}{m - 3}) ÷ \frac{m}{m^2 - 9}$,然后从$-3$,$0$,$1$,$3$中选一个合适的数代入求值。

答案： 解:原式=$\left(\frac{m}{m + 3} - \frac{2m}{m - 3}\right) ÷ \frac{m}{m^2 - 9}$$=\left[\frac{m(m-3)}{(m+3)(m-3)}-\frac{2m(m+3)}{(m+3)(m-3)}\right]\cdot\frac{(m+3)(m-3)}{m}=$$\frac{m^{2}-3m-2m^{2}-6m}{(m+3)(m-3)}\cdot\frac{(m+3)(m-3)}{m}=-m-9$.因为$m+3\neq0$,$m-3\neq0$,$m\neq0$,所以$m\neq\pm3$且$m\neq0$,所以可取$m=1$.当$m=1$时,$-m-9=-1-9=-10$.

8. [2025·张家界永定区期中]先化简$(\frac{x + 2}{x} - \frac{x - 1}{x - 2}) ÷ \frac{x - 4}{x^2 - 4x + 4}$,再从$-1 ＜ x \leq 2$中选择适当的整数代入求值。

答案： 解:原式=$\left(\frac{x + 2}{x} - \frac{x - 1}{x - 2}\right) ÷ \frac{x - 4}{x^2 - 4x + 4}$$=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}-\frac{x(x-1)}{x(x-2)}\right]\cdot\frac{(x-2)^{2}}{x-4}=\frac{x-4}{x(x-2)}\cdot$$\frac{(x-2)^{2}}{x-4}=\frac{x-2}{x}$.因为$-1\lt x\leqslant2$且x为整数,且$x\neq0$,$x\neq2$,$x\neq4$,所以取$x=1$.当$x=1$时,$\frac{x-2}{x}=\frac{1-2}{1}=-1$.

9. [2025·长沙雨花区期末]已知$x + 2y + 2 = 0$,求代数式$(x - \frac{4y^2}{x}) \cdot \frac{2x}{x - 2y}$的值。

答案： -4.

10. [2025·长沙市第一中学期末]已知$a^2 + 2a - 1 = 0$,求代数式$(\frac{a^2 - 1}{a^2 - 2a + 1} - \frac{1}{1 - a}) ÷ \frac{1}{a^2 - a}$的值。

答案： 1.