《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

【例1】如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD = BC$,$AB = CD$。求证：$AB// CD$。

答案： 连接$AC$。在$\triangle ADC$和$\triangle CAB$中：$\begin{cases}AD = BC,\\AB = CD,\\AC=CA\end{cases}$根据$SSS$（三边对应相等的两个三角形全等）可得：$\triangle ADC\cong\triangle CAB$。所以$\angle ACD=\angle CAB$。根据内错角相等，两直线平行，由$\angle ACD=\angle CAB$可得$AB// CD$。综上，证毕。

【变式训练1】
如图,已知 $AB = DC$,$AC = DB$,求证：$\angle B= \angle C$。

答案： 证明：连接AD。在△ABD和△DCA中，$\begin{cases}AB = DC \\AC = DB \\AD = DA\end{cases}$
∴△ABD≌△DCA（SSS）。
∴∠B=∠C。

【例2】如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 为 $BC$ 边上的中线,$AB = 4$,$AC = 2$。已知 $AD$ 的长为整数,求 $AD$ 的长。

答案： 2.

【变式训练2】
如图,$CD = AB$,$\angle BAD= \angle ADB$,$AE$ 是 $\triangle ABD$ 的中线。求证：$AC = 2AE$。

答案： 延长AE至点F，使EF=AE，连接FD。
∵AE是△ABD的中线，
∴BE=DE。 在△ABE和△FDE中， AE=FE，∠AEB=∠FED（对顶角相等），BE=DE，
∴△ABE≌△FDE（SAS）。
∴AB=FD，∠BAE=∠F，∠ABE=∠FDE。
∵∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD（等角对等边）。
∵CD=AB，
∴BD=CD，FD=CD。
∵∠ABE=∠FDE，∠BAD=∠ADB=α，
∴∠ABD=180°-2α=∠FDE。
∵∠ADB=α，
∴∠ADF=∠ADB+∠FDE=α+(180°-2α)=180°-α。
∵B，D，C共线，
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-α。
∴∠ADF=∠ADC。 在△ADF和△ADC中， AD=AD（公共边），∠ADF=∠ADC，DF=DC，
∴△ADF≌△ADC（SAS）。
∴AF=AC。
∵AF=AE+EF=2AE，
∴AC=2AE。 结论：AC=2AE。