《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

7. 已知关于$y的方程\frac{2a}{a + 1}-\frac{2}{y - 1}= 1与\frac{6}{y}= 3$的解相同,则$a$的值为(B)
A.3
B.-3
C.-2
D.2

答案： B

8. [新定义问题]若$a\neq0$,$b\neq0$,规定$a\oplus b= \frac{b}{a}$。若$(3x - 1)\oplus2= x\oplus1$,则$x$的值为1。

答案： $1$

9. 已知关于$x的方程\frac{ax}{x - 5}= 3-\frac{a + 1}{x - 5}$无解,则$a$的值为$3$或$-\frac{1}{6}$。

答案： $3$或$-\frac{1}{6}$

10. 解下列方程：
(1)$\frac{5x + 1}{x^2 + x}+\frac{2x}{x + 1}= 2$；
(2)$\frac{x + 1}{4x^2 - 1}= \frac{3}{2x + 1}-\frac{2}{2x - 1}$。

答案：
(1)
方程$\frac{5x + 1}{x^2 + x}+\frac{2x}{x + 1}= 2$，
因式分解得$\frac{5x + 1}{x(x + 1)}+\frac{2x}{x + 1}= 2$，
方程两边同乘$x(x + 1)$得：
$5x + 1+2x\cdot x = 2x(x + 1)$，
$5x + 1+2x^{2}=2x^{2}+2x$，
$5x + 1 = 2x$，
$3x=-1$，
解得$x =-\frac{1}{3}$。
检验：当$x =-\frac{1}{3}$时，$x(x + 1)=-\frac{1}{3}×(-\frac{1}{3}+1)=-\frac{2}{9}\neq0$。
所以原分式方程的解为$x =-\frac{1}{3}$。
(2)
方程$\frac{x + 1}{4x^2 - 1}=\frac{3}{2x + 1}-\frac{2}{2x - 1}$，
因式分解得$\frac{x + 1}{(2x + 1)(2x - 1)}=\frac{3}{2x + 1}-\frac{2}{2x - 1}$，
方程两边同乘$(2x + 1)(2x - 1)$得：
$x + 1=3(2x - 1)-2(2x + 1)$，
$x + 1 = 6x-3 - 4x - 2$，
$x + 1 = 2x-5$，
$x-2x=-5 - 1$，
$-x=-6$，
解得$x = 6$。
检验：当$x = 6$时，$(2x + 1)(2x - 1)=(2×6 + 1)×(2×6 - 1)=13×11 = 143\neq0$。
所以原分式方程的解为$x = 6$。

11. 如图,点$A$,$B$在数轴上,且点$A在点B$的左侧,它们所表示的数分别是$\frac{3}{x - 3}和\frac{1 - x}{3 - x}$,且点$A到原点的距离比点B$到原点的距离多2,求$x$的值。

答案： $x=2$

12. 新考向 规律探索 [2025·怀化联考期末]根据规律答题：
小明同学在一次教学活动中发现：方程$x+\frac{1}{x}= 2+\frac{1}{2}$的解为$x_1 = 2$,$x_2= \frac{1}{2}$；方程$x+\frac{1}{x}= 3+\frac{1}{3}$的解为$x_1 = 3$,$x_2= \frac{1}{3}$；方程$x+\frac{1}{x}= 4+\frac{1}{4}$的解为$x_1 = 4$,$x_2= \frac{1}{4}$……依此类推。
(1)请你依据小明的发现,猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}= 8+\frac{1}{8}$的解是______；
(2)根据上述规律,猜想由关于$x$的方程$x + 1+\frac{1}{x + 1}= a+\frac{1}{a}(a\neq0)$得到$x + 1= $______；
(3)【拓展延伸】由(2)可知,在解方程$x+\frac{x + 2}{x + 1}= \frac{82}{9}$时,可变形转化为$x+\frac{1}{x}= a+\frac{1}{a}$的形式求解,写出变形求解过程。
(1)$x_1=8$，$x_2=\frac{1}{8}$
(2)$a$或$\frac{1}{a}$
(3)解：$x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$
左边化简：$\frac{x + 2}{x + 1}=\frac{(x + 1) + 1}{x + 1}=1 + \frac{1}{x + 1}$，则原方程为$x + 1 + \frac{1}{x + 1}=\frac{82}{9}$
$\frac{82}{9}=9 + \frac{1}{9}$，令$y = x + 1$，得$y + \frac{1}{y}=9 + \frac{1}{9}$
由规律知$y=9$或$y=\frac{1}{9}$
当$y=9$时，$x + 1=9$，解得$x=8$
当$y=\frac{1}{9}$时，$x + 1=\frac{1}{9}$，解得$x=-\frac{8}{9}$
经检验，$x=8$和$x=-\frac{8}{9}$均为原方程的解
$\therefore$原方程的解为$x_1=8$，$x_2=-\frac{8}{9}$

答案：
(1)$x_1=8$，$x_2=\frac{1}{8}$
(2)$a$或$\frac{1}{a}$
(3)解：$x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$
左边化简：$\frac{x + 2}{x + 1}=\frac{(x + 1) + 1}{x + 1}=1 + \frac{1}{x + 1}$，则原方程为$x + 1 + \frac{1}{x + 1}=\frac{82}{9}$
$\frac{82}{9}=9 + \frac{1}{9}$，令$y = x + 1$，得$y + \frac{1}{y}=9 + \frac{1}{9}$
由规律知$y=9$或$y=\frac{1}{9}$
当$y=9$时，$x + 1=9$，解得$x=8$
当$y=\frac{1}{9}$时，$x + 1=\frac{1}{9}$，解得$x=-\frac{8}{9}$
经检验，$x=8$和$x=-\frac{8}{9}$均为原方程的解
$\therefore$原方程的解为$x_1=8$，$x_2=-\frac{8}{9}$