《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. 【发现】比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1) $9^2 - 6^2$的结果是3的几倍?
(2) 设偶数为$2n$,试说明：比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.

答案：
(1)15倍.
(2)由题意得偶数为2n,比2n大3的数为2n+3,所以(2n+3)²-(2n)²=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3).因为4n+3为整数,所以3(4n+3)能被3整除.所以比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.

2. [2024·福建中考节选]已知实数$a$,$b$,$c$,$m$,$n满足3m + n = \frac{b}{a}$,$mn = \frac{c}{a}$,试说明：$b^2 - 12ac$为非负数.

答案： 因为3m+n=ba,mn=ca,所以b=a(3m+n),c=amn.所以b²-12ac=[a(3m+n)]²-12a·amn=a²(3m+n)²-12a²mn=a²(9m²+6mn+n²-12mn)=a²(9m²-6mn+n²)=a²(3m-n)².又a,m,n都是实数,所以a²(3m-n)²≥0.所以b²-12ac为非负数.

3. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【举例】$(2 + 1)^2 + (2 - 1)^2 = 10$,为偶数. 请把10的一半表示为两个正整数的平方和：$1^2+2^2$.
【验证】设【发现】中的两个已知正整数为$m$,$n$,请验证【发现】中的结论.
因为$(m+n)^2+(m-n)^2=m^2+2mn+n^2+m^2-2mn+n^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2)$,所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数;$2(m^2+n^2)$的一半为$m^2+n^2$,故该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【延伸】试说明：两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.
设其中一个正整数为$x$,则另一个正整数为$x+2$,所以$x(x+2)+1=x^2+2x+1=(x+1)^2$,所以两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

答案： 【举例】102=1²+2²【验证】因为(m+n)²+(m-n)²=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²=2m²+2n²=2(m²+n²),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数;2(m²+n²)的一半为m²+n²,故该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.【延伸】设其中一个正整数为x,则另一个正整数为x+2,所以x(x+2)+1=x²+2x+1=(x+1)²,所以两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方.

4. 有一列式子：
$1×2×3×4 + 1 = 5^2 = (1^2 + 3×1 + 1)^2$；
$2×3×4×5 + 1 = 11^2 = (2^2 + 3×2 + 1)^2$；
$3×4×5×6 + 1 = 19^2 = (3^2 + 3×3 + 1)^2$；
$4×5×6×7 + 1 = 29^2 = (4^2 + 3×4 + 1)^2$；
……
(1) 观察上面的式子,找出其中的规律,并按照相同的格式将下面的式子补充完整：
$11×12×13×14 + 1 = $ 155² $=$ (11²+3×11+1)².
(2) 试猜想$n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$是哪一个数的平方,并说明理由.
猜想:$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²$.理由略.

答案：
(1)155² (11²+3×11+1)²
(2)猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)².理由略.