《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

3. 如图，$AB = AE$，$AB\perp AE$，$AD = AC$，$AD\perp AC$，$M$为$BC$的中点. 求证：$DE = 2AM$.

答案： 1. 首先，延长$AM$到$N$，使$MN = AM$，连接$BN$：
因为$M$为$BC$中点，所以$BM = CM$。
在$\triangle AMC$和$\triangle NMB$中：
$\left\{\begin{array}{l}CM = BM\\\angle AMC=\angle NMB\\AM = NM\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AMC\cong\triangle NMB$。
所以$AC = BN$，$\angle C=\angle NBM$。
2. 然后，求$\angle ABN$的度数：
已知$AB\perp AE$，$AD\perp AC$，所以$\angle EAB=\angle DAC = 90^{\circ}$。
则$\angle EAD+\angle BAC=180^{\circ}$。
又因为$\angle ABN=\angle ABC + \angle NBM=\angle ABC+\angle C$，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle C=180^{\circ}-\angle BAC$。
而$AD = AC$，$AC = BN$，所以$AD = BN$。
且$AB = AE$。
因为$\angle EAD+\angle BAC = 180^{\circ}$，$\angle ABN+\angle BAC = 180^{\circ}$，所以$\angle EAD=\angle ABN$。
3. 最后，证明$\triangle EAD\cong\triangle ABN$：
在$\triangle EAD$和$\triangle ABN$中：
$\left\{\begin{array}{l}AE = AB\\\angle EAD=\angle ABN\\AD = BN\end{array}\right.$。
根据$SAS$定理，$\triangle EAD\cong\triangle ABN$。
所以$DE = AN$。
又因为$AN = AM + MN$，$MN = AM$，所以$AN = 2AM$。
故$DE = 2AM$。

4. 【探究与发现】
(1) 如图①，$AD$是$\triangle ABC$的中线，延长$AD$至点$E$，使$ED = AD$，连接$BE$. 求证：$\triangle ACD\cong\triangle EBD$；
(2) 如图②，$EP$是$\triangle DEF$的中线，若$EF = 5$，$DE = 3$，设$EP = x$，则$x$的取值范围是________；
(3) 如图③，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$E$，$F$分别在$AB$，$AC$上，且$DE\perp DF$. 求证：$BE + CF ＞ EF$.

答案： 1. （1）证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle EBD$中：
$\begin{cases}CD = BD\\\angle ADC=\angle EDB\\AD = ED\end{cases}$（对顶角相等）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle EBD$。
2. （2）
延长$EP$至点$G$，使$PG = EP$，连接$DG$。
因为$EP$是$\triangle DEF$的中线，所以$FP = DP$。
在$\triangle EFP$和$\triangle GDP$中：
$\begin{cases}FP = DP\\\angle FPE=\angle DPG\\EP = GP\end{cases}$，根据$SAS$定理，$\triangle EFP\cong\triangle GDP$。
所以$EF = GD = 5$。
在$\triangle DEG$中，根据三角形三边关系$\vert DE - GD\vert\lt EG\lt DE + GD$。
已知$DE = 3$，$EG = 2x$，则$\vert3 - 5\vert\lt 2x\lt3 + 5$。
即$2\lt 2x\lt8$，解得$1\lt x\lt4$。
3. （3）证明：
延长$FD$至点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$，$EG$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中：
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDF\\DG = DF\end{cases}$，根据$SAS$定理，$\triangle BDG\cong\triangle CDF$。
所以$BG = CF$。
因为$DE\perp DF$，$DG = DF$，所以$DE$是$FG$的垂直平分线，则$EG = EF$。
在$\triangle BEG$中，根据三角形三边关系$BE + BG\gt EG$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE + CF\gt EF$。
综上，（2）的答案是$1\lt x\lt4$。