《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

$9. $我们把形如$ a\sqrt{x}+b(a，$$b $为有理数，$\sqrt{x} $为最简二次根式$)$的数叫作$ \sqrt{x} $型无理数，如$ 3\sqrt{5}+1 $是$ \sqrt{5} $型无理数，则$ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2} $是　　$\sqrt{6}$　　型无理数。　　

答案： 9 $\sqrt{6}$

10. 计算：
(1) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})+|2-\sqrt{3}|-\sqrt{18}÷\sqrt{2}$；
(2) $(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)×(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)$。

答案： 10
(1)$-\sqrt{3}$
(2)$2\sqrt{2}$

11. 已知 $x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})$，$y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，求下列各式的值：
(1) $x^{2}-xy+y^{2}$；
(2) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$。

答案： 11
(1)$\frac{11}{2}$
(2)12

$12. 【$运算能力，抽象能力$】$阅读下面材料：　　
将边长分别为$ a，$$a+\sqrt{b}，$$a + 2\sqrt{b}，$$a + 3\sqrt{b} $的正方形面积分别记为$ S_{1}，$$S_{2}，$$S_{3}，$$S_{4}。$　　
则$ S_{2}-S_{1}=(a+\sqrt{b})^{2}-a^{2}$　　
$=[(a+\sqrt{b})+a]\cdot[(a+\sqrt{b})-a]$　　
$=(2a+\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$　　
$=b + 2a\sqrt{b}。$　　
例如：当$ a = 1，$$b = 3 $时，$S_{2}-S_{1}=3 + 2\sqrt{3}。$　　
根据以上材料，解答下列问题：　　
$(1) $当$ a = 1，$$b = 3 $时，$S_{3}-S_{2}=$　　_______，$S_{4}-S_{3}=$　　_______。　　
$(2) $当$ a = 1，$$b = 3 $时，把边长为$ a + n\sqrt{b} $的正方形面积记作$ S_{n + 1}，$其中$ n $是正整数，从$(1)$中的计算结果，你能猜出$ S_{n + 1}-S_{n} $的值吗$？$并证明你的猜想。　　
$(3) $当$ a = 1，$$b = 3 $时，令$ t_{1}=S_{2}-S_{1}，$$t_{2}=S_{3}-S_{2}，$$t_{3}=S_{4}-S_{3}，$$\cdots，$$t_{n}=S_{n + 1}-S_{n}，$且$ T = t_{1}+t_{2}+t_{3}+\cdots + t_{50}，$求$ T $的值。　　

答案： $(1)$计算$S_{3}-S_{2}$和$S_{4}-S_{3}$的值
当$a = 1$，$b = 3$时：
$S_{3}-S_{2}=(a + 2\sqrt{b})^{2}-(a+\sqrt{b})^{2}$
根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，这里$m=a + 2\sqrt{b}$，$n=a+\sqrt{b}$，则$S_{3}-S_{2}=[(a + 2\sqrt{b})+(a+\sqrt{b})]\cdot[(a + 2\sqrt{b})-(a+\sqrt{b})]=(2a + 3\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$，把$a = 1$，$b = 3$代入得$(2×1+3\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}+9$。
$S_{4}-S_{3}=(a + 3\sqrt{b})^{2}-(a + 2\sqrt{b})^{2}$
同理，$S_{4}-S_{3}=[(a + 3\sqrt{b})+(a + 2\sqrt{b})]\cdot[(a + 3\sqrt{b})-(a + 2\sqrt{b})]=(2a + 5\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$，把$a = 1$，$b = 3$代入得$(2×1+5\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}+15$。
$(2)$猜想$S_{n + 1}-S_{n}$的值并证明
猜想：$S_{n + 1}-S_{n}=3(2n - 1)+2\sqrt{3}$。
证明：
$S_{n + 1}-S_{n}=(a + n\sqrt{b})^{2}-[a+(n - 1)\sqrt{b}]^{2}$
根据平方差公式$m^2 - n^2=(m + n)(m - n)$，这里$m=a + n\sqrt{b}$，$n=a+(n - 1)\sqrt{b}$，则$S_{n + 1}-S_{n}=[(a + n\sqrt{b})+a+(n - 1)\sqrt{b}]\cdot[(a + n\sqrt{b})-a-(n - 1)\sqrt{b}]$
$=(2a+(2n - 1)\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$，把$a = 1$，$b = 3$代入得$(2×1+(2n - 1)\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}+3(2n - 1)$。
$(3)$求$T$的值
由$(2)$知$t_{n}=S_{n + 1}-S_{n}=3(2n - 1)+2\sqrt{3}$。
$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+\cdots + t_{50}$
$=\sum_{n = 1}^{50}[3(2n - 1)+2\sqrt{3}]$
$=\sum_{n = 1}^{50}(6n-3 + 2\sqrt{3})$
$=6\sum_{n = 1}^{50}n-3×50+2\sqrt{3}×50$
根据等差数列求和公式$\sum_{k = 1}^{m}k=\frac{m(m + 1)}{2}$，这里$m = 50$，$\sum_{n = 1}^{50}n=\frac{50×(50 + 1)}{2}=1275$。
则$T=6×1275-150 + 100\sqrt{3}=7650-150+100\sqrt{3}=7500 + 100\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{9 + 2\sqrt{3}}$；$\boldsymbol{15 + 2\sqrt{3}}$；$(2)$$\boldsymbol{S_{n + 1}-S_{n}=3(2n - 1)+2\sqrt{3}}$，证明见上述过程；$(3)$$\boldsymbol{7500 + 100\sqrt{3}}$。