《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”).

答案： 一条直角边 斜边、直角边

例 如图，$AB = BC$，$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，$D$是$EF$上一点，$AE\perp EF$于点$E$，$CF\perp EF$于点$F$，$AE = CF$. 求证：$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF$.

答案：
连接BD。
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ BD=BD,\end{array}\right.$
所以Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
所以AD=CD。
因为AE⊥EF，CF⊥EF，
所以∠E=∠F=90°。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ AD=CD,\end{array}\right.$
所以Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

1. 如图，已知$AC\perp BD$，垂足为点$O$，$AO = CO$，$AB = CD$，则可判定$\triangle AOB\cong \triangle COD$，依据是(A)

A.斜边、直角边
B.边角边
C.角边角
D.边边边

答案： 1.A

2. 如图，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，添加一个条件，可使用“斜边、直角边”判定$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle ABD$全等. 下列给出的条件适合的是(C)

A.$\angle ABC=\angle ABD$
B.$\angle BAC=\angle BAD$
C.$AC = AD$
D.$AC = BC$

答案： 2.C

3. 如图，$AC = BC$，$AE = CD$，$AE\perp CE$于点$E$，$BD\perp CD$于点$D$，$AE = 7$，$BD = 2$，则$DE$的长是(B)

A.$7$
B.$5$
C.$3$
D.$2$

答案： 3.B

4. 如图，已知$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，要使用“斜边、直角边”证明$\triangle ABC\cong \triangle DCB$，应添加条件：AB = DC（或 AC = DB）；要使用“角角边”证明$\triangle ABC\cong \triangle DCB$，应添加条件：∠ACB = ∠DBC（或 ∠ABC = ∠DCB）.

答案： 4.AB = DC（或 AC = DB） ∠ACB = ∠DBC（或 ∠ABC = ∠DCB）

5. 如图，$MN// PQ$，$AB\perp PQ$，点$A$，$D$，$B$，$C$分别在直线$MN$与$PQ$上，点$E$在$AB$上，$AD + BC = 7$，$AD = EB$，$DE = EC$，则$AB=$7.

答案： 5.7

6. 如图，已知$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$E$，$F$在线段$BC$上，$DE$与$AF$交于点$O$，且$AB = CD$，$BE = CF$. 求证：$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle DCE$.
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答案： 解：
因为$BE = CF$，
所以$BE + EF = CF + EF$，即$BF = CE$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle DCE$中，
$\begin{cases}AB = CD\\BF = CE\end{cases}$
根据直角三角形全等判定定理（$HL$：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），
可得$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle DCE$。