《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

9. 【数学文化】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 $ 5 $ 里、$ 12 $ 里、$ 13 $ 里，问这块沙田的面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，$ 1 $ 里 $ = 500 m $，则该沙田的面积为(A)

A.$ 7.5 km^{2} $
B.$ 15 km^{2} $
C.$ 75 km^{2} $
D.$ 750 km^{2} $

答案： 9.A

10. [2023 济宁] 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是 $ 1 $ 个单位长度，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ F $。若 $ \angle CFB = \alpha $，则 $ \angle ABE $ 等于(C)

A.$ 180^{\circ}-\alpha $
B.$ 180^{\circ}-2\alpha $
C.$ 90^{\circ}+\alpha $
D.$ 90^{\circ}+2\alpha $

答案： 10.C

11. 如图，$ E $ 是正方形 $ ABCD $ 内的一点，连接 $ AE $，$ BE $，$ CE $，将 $ \triangle ABE $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 到 $ \triangle CBE' $ 的位置。若 $ AE = 1 $，$ BE = 2 $，$ CE = 3 $，则 $ \angle BE'C = $135^{\circ}。

答案： $11.135^{\circ}$

12. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 $ m $ 是大于 $ 1 $ 的整数，$ a = 2m $，$ b = m^{2}-1 $，$ c = m^{2}+1 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 为勾股数。你认为对吗？请说明理由。如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

答案： 解：对。
理由如下：
已知$a = 2m$，$b = m^{2}-1$，$c = m^{2}+1$（$m$是大于$1$的整数）。
计算$a^{2}+b^{2}$：
$a^{2}+b^{2}=(2m)^{2}+(m^{2} - 1)^{2}$
$=4m^{2}+m^{4}-2m^{2}+1$
$=m^{4}+2m^{2}+1$
计算$c^{2}$：
$c^{2}=(m^{2}+1)^{2}=m^{4}+2m^{2}+1$
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，满足勾股定理，$a$，$b$，$c$是勾股数。
当$m = 2$时，$a = 2×2 = 4$，$b = 2^{2}-1 = 3$，$c = 2^{2}+1 = 5$，即$3$，$4$，$5$是勾股数；
当$m = 3$时，$a = 2×3 = 6$，$b = 3^{2}-1 = 8$，$c = 3^{2}+1 = 10$，即$6$，$8$，$10$是勾股数；
当$m = 4$时，$a = 2×4 = 8$，$b = 4^{2}-1 = 15$，$c = 4^{2}+1 = 17$，即$8$，$15$，$17$是勾股数。（答案不唯一）

13. 【跨学科融合·劳动教育】劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格。某实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 $ ABCD $）用来种植蔬菜和花卉。如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长 $ 13 m(AC = 13 m) $ 的小路隔开（小路的宽度忽略不计）。经测量，花卉区的 $ AB $ 边长 $ 5 m $，$ BC $ 边长 $ 12 m $，蔬菜区的 $ AD $ 边长 $ 7 m $，$ \angle D = 90^{\circ} $。
(1) 求蔬菜区边 $ CD $ 的长；
(2) 求花卉区的面积。

答案： 13.
(1)蔬菜区边CD的长为$20\sqrt{3}m (2)$花卉区的面积为$30m^{2}$

14. 【几何直观】如图，$ P $ 是等边 $ \triangle ABC $ 内的一点，且 $ PA = 6 $，$ PB = 8 $，$ PC = 10 $，$ \angle PAP' = 60^{\circ} $，$ P'A = PA $，求 $ \angle APB $ 的度数。

答案： 1. 首先，连接$PP'$：
因为$\angle PAP' = 60^{\circ}$，$P'A = PA = 6$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），可知$\triangle APP'$是等边三角形。
所以$PP'=PA = 6$，$\angle APP' = 60^{\circ}$。
2. 然后，证明$\triangle AP'B\cong\triangle APC$：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle BAC=\angle P'AP = 60^{\circ}$。
那么$\angle P'AB=\angle P'AP-\angle PAB$，$\angle PAC=\angle BAC - \angle PAB$，所以$\angle P'AB=\angle PAC$。
又因为$P'A = PA$，$AB = AC$，根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle AP'B\cong\triangle APC$。
所以$P'B = PC = 10$。
3. 接着，在$\triangle P'PB$中：
已知$P'B = 10$，$PB = 8$，$PP' = 6$。
计算$PP'^{2}+PB^{2}$：$PP'^{2}+PB^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$P'B^{2}=10^{2}=100$。
所以$PP'^{2}+PB^{2}=P'B^{2}$。
根据勾股定理的逆定理（若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形，其中$c$为斜边），可知$\triangle P'PB$是直角三角形，且$\angle P'PB = 90^{\circ}$。
4. 最后，求$\angle APB$的度数：
因为$\angle APB=\angle APP'+\angle P'PB$。
已知$\angle APP' = 60^{\circ}$，$\angle P'PB = 90^{\circ}$。
所以$\angle APB=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$。
综上，$\angle APB$的度数为$150^{\circ}$。