《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 如图，点 $ A $，$ D $，$ B $，$ E $ 在同一条直线上，$ AD = BE $，$ AC = DF $，$ AC // DF $。求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。

答案： 解：
因为$AD = BE$，所以$AD + DB = BE + DB$，即$AB = DE$。
因为$AC// DF$，所以$\angle A=\angle EDF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle A=\angle EDF\\AC = DF\end{cases}$。
根据全等三角形判定定理中的“边角边”（$SAS$），可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。

2. 如图，点 $ E $，$ C $ 在 $ BF $ 上，$ \angle A = \angle D $，$ AB // DE $，$ BC = EF $。求证：$ AC = DF $。

答案： 解：
因为$AB// DE$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle DEF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle D\\\angle B=\angle DEF\\BC = EF\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AC = DF$。

3. 如图，点 $ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 的中点，$ BE $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ \angle B = \angle C $，$ BD = CE $。求证：
(1) $ OD = OE $；
(2) $ \triangle ABE \cong \triangle ACD $。

答案： 1. 证明$OD = OE$：
解：在$\triangle BOD$和$\triangle COE$中，
已知$\angle B=\angle C$，$\angle BOD = \angle COE$（对顶角相等），$BD = CE$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BOD\cong\triangle COE$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$OD = OE$。
2. 证明$\triangle ABE\cong\triangle ACD$：
解：因为点$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$。
又因为$BD = CE$，所以$AB=AC$（$AB = 2BD$，$AC = 2CE$）。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$AB = AC$（已证），$\angle A=\angle A$（公共角），$AE = AD$（$AE=\frac{1}{2}AC$，$AD=\frac{1}{2}AB$，$AB = AC$）。
根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
综上，
(1)得证$OD = OE$；
(2)得证$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。

4. 如图，$ AC = AE $，$ \angle C = \angle E $，$ \angle 1 = \angle 2 $。求证：$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $。

答案： 解：
因为$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle 1+\angle EAC=\angle 2+\angle EAC$，
即$\angle BAC = \angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}\angle BAC = \angle DAE \\AC = AE \\\angle C = \angle E\end{cases}$
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle ABC \cong \triangle ADE$。

5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，点 $ P $ 在对角线 $ AC $ 上，连接 $ PB $，$ PD $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ \angle 3 = \angle 4 $。求证：(1) $ \triangle CDP \cong \triangle CBP $；(2) $ AD = AB $。

答案： 1. 证明$\triangle CDP\cong\triangle CBP$：
解：在$\triangle CDP$和$\triangle CBP$中，
已知$\angle 3 = \angle 4$（已知条件），$CP = CP$（公共边），$\angle 1=\angle 2$，则$\angle DPC = 180^{\circ}-\angle 1$，$\angle BPC = 180^{\circ}-\angle 2$，所以$\angle DPC=\angle BPC$。
根据三角形全等判定定理$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle CDP\cong\triangle CBP$。
2. 证明$AD = AB$：
解：因为$\triangle CDP\cong\triangle CBP$，所以$CD = CB$。
在$\triangle ADC$和$\triangle ABC$中，
$CD = CB$（已证），$\angle 3=\angle 4$（已知），$AC = AC$（公共边）。
根据三角形全等判定定理$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADC\cong\triangle ABC$。
再根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等），所以$AD = AB$。
综上，（1）$\triangle CDP\cong\triangle CBP$得证；（2）$AD = AB$得证。

6. 如图，$ AC = AE $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ AB = AD $。求证：$ \triangle BAC \cong \triangle DAE $。

答案： 解：
因为$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle 1+\angle BAE=\angle 2+\angle BAE$，
即$\angle BAC = \angle DAE$。
在$\triangle BAC$和$\triangle DAE$中，
$\begin{cases}AC = AE\\\angle BAC = \angle DAE\\AB = AD\end{cases}$
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（$SAS$），
可得$\triangle BAC \cong \triangle DAE$。