《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

变形 7
如图，$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 外一点，连接 $ BD $，$ AD $，$ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $。有下列三个等式：① $ BC = AD $；② $ \angle ABC = \angle BAD $；③ $ AC = BD $。请从这三个等式中，任选两个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明。
条件：_______；
结论：_______。(均填序号)

答案： 解：
在$\triangle ABC$和$\triangle BAD$中，
$\begin{cases}BC = AD\\\angle ABC = \angle BAD\\AB = BA\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AC = BD$。
即由条件①②可以推出结论③。

变形 8
如图，点 $ D $ 在 $ BC $ 上，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ AE = AC $。有下列三个条件：① $ AB = AD $；② $ BC = DE $；③ $ \angle E = \angle C $。请你从所给条件中选出一个，使得 $ \triangle ABC \cong \triangle ADE $，并加以证明。

答案： 1. 选择条件③$\angle E=\angle C$：
解：
已知$\angle 1 = \angle 2$，根据等式的性质，$\angle 1+\angle CAD=\angle 2+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BAC=\angle DAE\\AC = AE\\\angle C=\angle E\end{array}\right.$（已证$\angle BAC = \angle DAE$，已知$AC = AE$，条件③$\angle C=\angle E$）。
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
2. 若选择条件①$AB = AD$：
解：
已知$\angle 1=\angle 2$，则$\angle 1 + \angle CAD=\angle 2+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中：
$\left\{\begin{array}{l}AC = AE\\\angle BAC=\angle DAE\\AB = AD\end{array}\right.$（已知$AC = AE$，已证$\angle BAC=\angle DAE$，条件①$AB = AD$）。
根据“边 - 角 - 边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
3. 若选择条件②$BC = DE$：
解：
已知$\angle 1=\angle 2$，则$\angle 1+\angle CAD=\angle 2+\angle CAD$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中：
$\left\{\begin{array}{l}AC = AE\\\angle BAC=\angle DAE\\BC = DE\end{array}\right.$（已知$AC = AE$，已证$\angle BAC=\angle DAE$，条件②$BC = DE$）。
根据“边 - 角 - 边”（这里$BC$与$DE$是$\angle BAC$与$\angle DAE$的对边，实际上是“边 - 边 - 角”，不能判定全等，所以这种选择错误）。
综上，选择条件①或③可以证明$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。当选择条件③时，证明过程如上述；当选择条件①时，证明过程如上述。

变形 9
如图，点 $ C $，$ F $ 在线段 $ BE $ 上，$ BF = EC $，$ \angle 1 = \angle 2 $，请你添加一个条件，使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $，并加以证明（不再添加辅助线和字母）。

答案： 1. 首先分析已知条件：
已知$BF = EC$，根据等式性质，$BF - CF=EC - CF$，即$BC = EF$；
已知$\angle 1=\angle 2$。
2. 然后根据三角形全等判定定理添加条件并证明：
若添加$\angle B=\angle E$（$ASA$判定定理）：
证明：
解：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
因为$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle E\\BC = EF\\\angle 1=\angle 2\end{array}\right.$，
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
若添加$\angle A=\angle D$（$AAS$判定定理）：
证明：
解：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
因为$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D\\\angle 1=\angle 2\\BC = EF\end{array}\right.$，
根据$AAS$（两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
若添加$AC = DF$（$SAS$判定定理）：
证明：
解：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
因为$\left\{\begin{array}{l}AC = DF\\\angle 1=\angle 2\\BC = EF\end{array}\right.$，
根据$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
综上，可添加的条件为$\angle B=\angle E$（或$\angle A=\angle D$或$AC = DF$）。

变形 10
如图，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中，$ B $，$ E $，$ C $，$ F $ 在同一条直线上。有下面四个条件：
① $ AB = DE $；② $ AC = DF $；③ $ BE = CF $；④ $ \angle ABC = \angle DEF $。
(1) 请选择其中三个条件，使得 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $（写出一种情况即可）；
(2) 在（1）的条件下，求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。

答案： 1. （1）选择条件：
选择①$AB = DE$，②$AC = DF$，③$BE = CF$（答案不唯一，也可选择①③④等）。
2. （2）证明：
解：
因为$BE = CF$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$EC$，可得$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
已知$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{array}\right.$。
根据全等三角形判定定理中的“边 - 边 - 边”（$SSS$）：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$。
若选择①③④：
1. （2）证明：
解：
因为$BE = CF$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$EC$，可得$BE + EC = CF+EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
已知$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\\angle ABC=\angle DEF\\BC = EF\end{array}\right.$。
根据全等三角形判定定理中的“边 - 角 - 边”（$SAS$）：如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。