《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数是______.

答案： 7.80°或40°

8. 如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD//BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为(B)

A.65°
B.75°
C.85°
D.95°

答案： 8.B

9. 【跨学科·物理】如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为(C)

A.35°
B.45°
C.55°
D.65°

答案： 9.C

10. 一个零件的形状如图所示，按规定合格的零件标准为∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°.检验工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件不合格.你能运用所学的知识说出其中的道理吗？

答案： 解：延长$BD$交$AC$于点$E$。
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在$\triangle ABE$中，$\angle DEC$是$\triangle ABE$的外角，则$\angle DEC=\angle BAC + \angle B$。
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle B = 21^{\circ}$，所以$\angle DEC=90^{\circ}+21^{\circ}=111^{\circ}$。
在$\triangle DEC$中，$\angle BDC$是$\triangle DEC$的外角，则$\angle BDC=\angle DEC+\angle C$。
把$\angle DEC = 111^{\circ}$，$\angle C = 20^{\circ}$代入可得$\angle BDC=111^{\circ}+20^{\circ}=131^{\circ}$。
而检验工人量得$\angle BDC = 130^{\circ}\neq131^{\circ}$，所以这个零件不合格。

11. 【模型观念，推理能力】【问题背景】现有一张△ABC纸片，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点.
【初步感知】(1)如图①，∠1+∠2与∠B+∠C存在怎样的数量关系？为什么？
(2)把图②的△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2_______∠B+∠C(填“＞”“＜”或“=”).
【深入探究】
(3)图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A=30°，则x+y=_______.
(4)如图③，猜想∠BDA，∠CEA，∠A三个角存在的数量关系，并说明理由.

【延伸拓展】
(5)如图④，当点A落在△ABC的外侧时，探究∠BDA，∠CEA，∠A三个角存在的数量关系.(只要写出结论，不要求说明理由)

答案： 1. （1）
解：$\angle1+\angle2=\angle B + \angle C。$
理由：在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}（$三角形内角和定理：$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}，$用\ \angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}\表示），在$\triangle ADE$中，\angle A+\angle1+\angle2 = 180^{\circ}（\ \angle A+\angle1+\angle2 = 180^{\circ}\）。
所以$\angle1+\angle2=\angle B+\angle C（$等量代换）。
2. （2）
答案：=。
理由：因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}，$$\angle A+\angle1+\angle2 = 180^{\circ}（$折叠前后角的大小不变，$\angle A$不变），所以$\angle1+\angle2=\angle B+\angle C。$
3. （3）
答案：$60^{\circ}。$
理由：由（1）知$\angle1+\angle2=\angle B+\angle C，$又因为$\angle A = 30^{\circ}，$$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}，$所以$\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle A = 150^{\circ}，$$\angle1+\angle2 = 150^{\circ}。$
又因为$x + y+(\angle1+\angle2)=360^{\circ}-2(\angle B+\angle C)（$周角$360^{\circ}，$\x + y+(\angle1+\angle2)=360^{\circ}\，折叠后$\angle ADE=\angle A'DE，$$\angle AED=\angle A'ED），$$x + y=360^{\circ}-(\angle1+\angle2)-2(\angle B+\angle C)，$$x + y=360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle A)-2(180^{\circ}-\angle A)，$把$\angle A = 30^{\circ}$代入得$x + y = 60^{\circ}。$4. （4） - 解：$\angle BDA+\angle CEA = 2\angle A。$ - 理由：设$\angle ADE=\angle A'DE = m，$$\angle AED=\angle A'ED = n。$ - 则$\angle BDA = 180^{\circ}-2m，$$\angle CEA = 180^{\circ}-2n。$ - 所以$\angle BDA+\angle CEA=360^{\circ}-2(m + n)。$ - 在$\triangle ADE$中，$m + n=180^{\circ}-\angle A。$ - 所以$\angle BDA+\angle CEA=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A。$5. （5） - 答案：$\angle BDA-\angle CEA = 2\angle A。$ - 理由：设$\angle ADE=\angle A'DE = m，$$\angle AED=\angle A'ED = n。$ - 则$\angle BDA = 180^{\circ}-2m，$$\angle CEA=2n - 180^{\circ}。$$ - \angle BDA-\angle CEA=(180^{\circ}-2m)-(2n - 180^{\circ})=360^{\circ}-2(m + n)，$又$m + n = 180^{\circ}-\angle A，$所以$\angle BDA-\angle CEA=2\angle A。$