《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. [2024甘孜州]如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle A = 40^{\circ} $，按如下步骤作图：①以点 $ B $ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $ BA $，$ BC $ 于点 $ D $，$ E $；②分别以点 $ D $，$ E $ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}DE$ 的长为半径画弧，两弧在 $ \angle ABC $ 的内部相交于点 $ F $，作射线 $ BF $ 交 $ AC $ 于点 $ G $. 则 $ \angle ABG $ 的度数为 35°.

答案： 5.35°

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ D $ 是 $ BA $ 的延长线上一点，$ E $ 是 $ AC $ 的中点.
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.
①作 $ \angle DAC $ 的平分线 $ AM $；
②连接 $ BE $，并延长交 $ AM $ 于点 $ G $；
③过点 $ A $ 作 $ BC $ 的垂线，垂足为 $ F $.
(2)猜想 $ AG $ 与 $ BF $ 的位置关系与数量关系，并说明理由.

答案：
1. 首先，根据已知条件分析：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
由三角形外角性质$\angle DAC=\angle ABC + \angle ACB$，可得$\angle DAC = 2\angle ABC$。
因为$AM$平分$\angle DAC$，所以$\angle DAM=\angle MAC$，且$\angle DAC = 2\angle MAG$，那么$\angle MAG=\angle ABC$。
2. 然后，证明$AG// BF$：
根据同位角相等，两直线平行，因为$\angle MAG$与$\angle ABC$是同位角，且$\angle MAG=\angle ABC$，所以$AG// BF$。
3. 接着，证明$\triangle AEG\cong\triangle CEB$：
已知$E$是$AC$中点，所以$AE = CE$。
因为$AG// BC$，所以$\angle GAE=\angle BCE$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle AEG$和$\triangle CEB$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle GAE=\angle BCE\\AE = CE\\\angle AEG=\angle CEB\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle AEG\cong\triangle CEB$。
所以$AG = BC$。
4. 最后，分析$AG$与$BF$的数量关系：
因为$AB = AC$，$AF\perp BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$BF=\frac{1}{2}BC$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
又因为$AG = BC$，所以$AG = 2BF$。
综上，$AG$与$BF$的位置关系是$AG// BF$，数量关系是$AG = 2BF$。

7. 【推理能力】在学习轴对称时，老师让同学们思考课本中的探究题.
如图①，要在燃气管道 $ l $ 上修建一个泵站，分别向 $ A $，$ B $ 两镇供气，泵站修在管道的什么位置，可使所用的输气管线最短？
你可以在管道 $ l $ 上找几个点？试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快想出了解决这个问题的正确办法. 他把管道 $ l $ 看成一条直线，如图②，问题就转化为：在直线 $ l $ 上找一点 $ P $，使 $ AP $ 与 $ BP $ 的和最小. 他的作法如下：
①作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
②连接 $ AB' $ 交直线 $ l $ 于点 $ P $，则点 $ P $ 即为所求作.
请你参考小华的作法解决下列问题：如图③，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是边 $ AB $，$ AC $ 的中点. 请你在边 $ BC $ 上确定一点 $ P $，使 $ \triangle PDE $ 的周长最小（保留作图痕迹，不要求写作法）.

答案：
7.作图如答图，点P即为所求作