《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. 如图，已知$AD\perp BC$，$EG\perp BC$，垂足分别为$D$，$G$，$\angle 1=\angle E$，求证：$AD$平分$\angle BAC$.

答案： 解：
因为$AD\perp BC$，$EG\perp BC$，
所以$AD// EG$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle CAD = \angle E$；
根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle BAD=\angle 1$。
又因为$\angle 1 = \angle E$，
所以$\angle BAD=\angle CAD$。
所以$AD$平分$\angle BAC$（角平分线的定义）。

8. 【教材$P100$“探究”变式】下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

答案： 方法一：
解：
因为$DE// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle B = \angle DAB$，$\angle C = \angle EAC$。
又因为$\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC = 180^{\circ}$（平角的定义），
把$\angle B = \angle DAB$，$\angle C = \angle EAC$代入上式可得：
$\angle B+\angle BAC+\angle C = 180^{\circ}$，即三角形内角和等于$180^{\circ}$。
方法二：
解：
因为$CD// AB$，
根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle B=\angle DCE$；
根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle A=\angle ACD$。
又因为$\angle DCE+\angle ACD+\angle ACB = 180^{\circ}$（平角的定义），
把$\angle B=\angle DCE$，$\angle A=\angle ACD$代入上式可得：
$\angle B+\angle A+\angle ACB = 180^{\circ}$，即三角形内角和等于$180^{\circ}$。

9. 证明：同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直. 写出已知和求证，并证明.

答案： 1. 已知：
在同一平面内，$a// b$，$c\perp a$。
2. 求证：
$c\perp b$。
3. 证明：
解（证明）：
因为$c\perp a$（已知），所以$\angle1 = 90^{\circ}$（垂直的定义）。
又因为$a// b$（已知），根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle2=\angle1$。
所以$\angle2 = 90^{\circ}$（等量代换）。
则$c\perp b$（垂直的定义）。
综上，在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直得证。

10. 【推理能力】（1）如图，若$DE// BC$，$\angle 1=\angle 3$，$\angle CDF = 90^{\circ}$，求证：$FG\perp AB$.
（2）如果把（1）中的条件“$DE// BC$”与结论“$FG\perp AB$”对调，所得命题是真命题吗？说明理由.

答案： 1. （1）
解：
因为$DE// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle 1 = \angle 2$。
又因为$\angle 1=\angle 3$，所以$\angle 2=\angle 3$。
由$\angle 2 = \angle 3$，根据同位角相等，两直线平行，可得$CD// FG$。
因为$\angle CDF = 90^{\circ}$，即$CD\perp DF$，又$CD// FG$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle GFD=\angle CDF = 90^{\circ}$。
所以$FG\perp AB$。
2. （2）
解：所得命题是真命题。
理由：因为$FG\perp AB$，$CD\perp DF$，所以$\angle GFD=\angle CDF = 90^{\circ}$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$CD// FG$。
再根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle 2=\angle 3$。
又因为$\angle 1=\angle 3$，所以$\angle 1=\angle 2$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$DE// BC$。
综上，（1）得证$FG\perp AB$；（2）所得命题是真命题。