《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

如果直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则：
(1)$c^{2}=$$a^{2}+b^{2}$；(2)$a^{2}=$$c^{2}-b^{2}$；
(3)$b^{2}=$$c^{2}-a^{2}$；(4)$c=$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$；
(5)$a=$$\sqrt{c^{2}-b^{2}}$；(6)$b=$$\sqrt{c^{2}-a^{2}}$。

答案： 1.A 2.D 3.B 4.13 5.50

例 1 如图，甲、乙两艘轮船同时从港口$O$出发，甲轮船以$20$n mile/h 的速度向南偏东$45^{\circ}$方向航行，乙轮船向南偏西$45^{\circ}$方向航行。已知它们离开港口$O$处$2$h 后，两艘轮船相距$50$n mile。求乙轮船的平均速度。

答案： 设乙轮船的平均速度为$v$ n mile/h。
根据题意，甲轮船2小时后的位置与港口$O$的距离为：
$OA = 20 × 2 = 40 (n mile)$
乙轮船2小时后的位置与港口$O$的距离为：
$OB = v × 2 = 2v (n mile)$
由于甲轮船向南偏东$45^{\circ}$方向航行，乙轮船向南偏西$45^{\circ}$方向航行，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$。
根据勾股定理，两艘轮船之间的距离$AB$满足：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$
已知$AB = 50 n mile$，代入得：
$50^2 = 40^2 + (2v)^2$
$2500 = 1600 + 4v^2$
$4v^2 = 900$
$v^2 = 225$
$v = 15 (n mile/h)$（负值舍去）
答：乙轮船的平均速度为$15$ n mile/h。

例 2 如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上。他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出$1$m，然后把风筝线沿直线向后拉开$5$m，发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图)。请你帮小旭求出风筝距离地面的高度$AB$。

答案： 解得$x = 12$。
所以风筝距离地面的高度$AB$为$12$m。

1. 如图，公路$AC$，$BC$互相垂直，$M$为公路$AB$的中点，为测量湖泊两侧$C$，$M$两点间的距离，工人师傅测得$AC = 3$km，$BC = 4$km，则$M$，$C$两点间的距离为(A)

A.$2.5$km
B.$3$km
C.$4$km
D.$5$km

答案： 1.A

2. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心$A$和$B$的距离为(D)

A.$120$mm
B.$130$mm
C.$140$mm
D.$150$mm

答案： 2.D

3. 如图，某自动感应门的正上方$A$处装有一个感应器，离地$AB = 2.5$m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高$1.6$m 的学生$CD$正对门，缓慢走到离门$1.2$m 的地方时($BC = 1.2$m)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离$AD$为(B)

A.$1.2$m
B.$1.5$m
C.$2.0$m
D.$2.5$m

答案： 3.B

4. 如图，有一只小鸟从大树顶飞到小树顶上，它飞行的最短路程是13m。

答案： 4.13

5. [2023 东营]一艘船由$A$港沿北偏东$60^{\circ}$方向航行$30$km 至$B$港，然后再沿北偏西$30^{\circ}$方向航行$40$km 至$C$港，则$A$，$C$两港之间的距离为50km。

答案： 5.50