《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

6. [2024 吉林]图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中$AB = AB'$，$AB\perp B'C$于点$C$，$BC = 0.5$尺，$B'C = 2$尺。设$AC$的长度为$x$尺，可列方程为$x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2}$。

答案： 6.$x^{2}+2^{2}=(x + 0.5)^{2}$

7. 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过$70$km/h。如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面上车速检测仪正前方$30$m 的$C$处，过了$2$s 后，小汽车行驶到$B$处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为$50$m。
(1)求$BC$的长。
(2)这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明。

答案： 1. （1）
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 50m$，$AC = 30m$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$。
把$AB = 50$，$AC = 30$代入可得：$BC=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=\sqrt{(50 + 30)(50 - 30)}=\sqrt{80×20}=\sqrt{1600}=40(m)$。
2. （2）
解：小汽车的速度$v=\frac{BC}{t}$，已知$BC = 40m$，$t = 2s$。
则$v=\frac{40}{2}=20(m/s)$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$20m/s=20×3.6km/h = 72km/h$。
又因为$72km/h＞70km/h$。
答：（1）$BC$的长为$40m$；（2）这辆小汽车超速了。

8. [2023 广安]如图，圆柱形玻璃杯的杯高为$9$cm，底面周长为$16$cm，在杯内壁离杯底$4$cm 的点$A$处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿$1$cm，且与蜂蜜相对的点$B$处，则蚂蚁从外壁$B$处到内壁$A$处所走的最短路程为10cm。(杯壁厚度不计)

答案： 8.10

9. 【跨学科·物理】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验。同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮$A$，一端拴在滑块$B$上，另一端拴在物体$C$上，滑块$B$放置在水平地面的直轨道上，通过滑块$B$的左右滑动来调节物体$C$的升降。实验初始状态如图①所示，物体$C$静止在直轨道上，物体$C$到滑块$B$的水平距离是$6$dm，物体$C$到定滑轮$A$的垂直距离是$8$dm。(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计)
(1)求绳子的总长度；
(2)如图②，若物体$C$升高$7$dm，求滑块$B$向左滑动的距离。

答案： 9.
(1)绳子的总长度为18 dm
(2)滑块B向左滑动的距离为9 dm