《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

教材母题1（教材P78例3）
计算：
(1)$(3\sqrt{2}+\sqrt{5})(3\sqrt{2}-\sqrt{5})$；
(2)$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}$.
【思想方法】
二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简单运算.
一、利用乘法公式运算

答案： $(1)13 (2)5 - 2\sqrt{6}$

变形$1$　　
已知$x=\sqrt{3}+1，$则代数式$(4-2\sqrt{3})x^{2}+(\sqrt{3}-1)x+\sqrt{3}$的值是　　$6 + \sqrt{3}$　　$.$　　

答案： $6 + \sqrt{3}$

变形2
计算：
(1)$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})$；
(2)$(2\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$.

答案： $(1)9 (2)22 - 4\sqrt{10}$

变形3
计算：
(1)$(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}$；
(2)$(7-4\sqrt{3})^{2026}×(7+4\sqrt{3})^{2027}$.

答案： $(1)12 (2)7 + 4\sqrt{3}$

变形4
已知$a=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，$b=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1)$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$；
(2)$a^{2}b+ab^{2}$.

答案： $(1)12 (2)4\sqrt{7}$

变形5
已知$a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，求下列各式的值：
(1)$a^{2}-ab+b^{2}$；
(2)$\sqrt{a^{2}+b^{2}-6ab}$.

答案：
(1)9
(2)2

教材母题2（教材P78例5）
计算：
(1)$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$.
【思想方法】
形如$\frac{1}{\sqrt{a}}$与$\frac{c}{a\pm\sqrt{b}}$的二次根式的化简，通常是利用分式的基本性质把分子、分母同时乘分母的有理化因式，就可以将分母中的根号化去.其中$\sqrt{a}$的有理化因式是$\sqrt{a}$，$a\pm\sqrt{b}$的有理化因式是$a\mp\sqrt{b}$.

答案： $(1)\sqrt{10} - \sqrt{5}$
$(2)-3 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$