《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. 根据因式分解与多项式的乘法运算的关系将下列多项式因式分解：
(1)因为 $ (x - 1)(x + 2) = x^{2} + x - 2 $，所以 $ x^{2} + x - 2 = $(x-1)(x+2)；
(2)因为 $ (m + 5n)( $m-5n$ ) = m^{2} - 25n^{2} $，所以 $ m^{2} - 25n^{2} = $(m+5n)(m-5n)。

答案： 5.
(1)(x-1)(x+2)
(2)m-5n (m+5n)(m-5n)

6. 下列各式从左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？若是，请检验其是否正确。
(1)$ a(a^{2} + 1) = a^{3} + a $；
(2)$ x^{3} + x - x^{2} - 1 = (x - 1)(x^{2} + 1) $；
(3)$ 4x^{3} - 2x + 1 = 2x(2x^{2} - 1) + 1 $。

答案： 6.
(1)
(3)不是,
(2)是;
因为
(2)中(x-1)(x²+1)=x³+x-x²-1,
所以因式分解x³+x-x²-1=(x-1)(x²+1)正确

7. 如图，由一个边长为 $ a $ 的小正方形和两个长、宽分别为 $ a $，$ b $ 的小长方形组成的大长方形，整个图形可表达出以下几个有关多项式因式分解的等式，下列等式错误的是(B)


A.$ a^{2} + 2ab = a(a + 2b) $
B.$ a(a + 2b^{2}) = a^{2} + 2ab^{2} $
C.$ a(a + b) + ab = a(a + 2b) $
D.$ a(a + 2b) - ab = a(a + b) $

答案： 7.B

8. 若多项式 $ x^{2} + mx - 15 = (x + 5)(x + n) $，求 $ m $ 的值。

答案： 8.2

9. 【运算能力，创新意识】阅读理解：
已知关于 $ x $ 的二次三项式 $ x^{2} - 4x + m $ 有一个因式是 $ x + 3 $，求另一个因式以及 $ m $ 的值。
解：设另一个因式为 $ x + n $，
得 $ x^{2} - 4x + m = (x + 3)(x + n) $，
则 $ x^{2} - 4x + m = x^{2} + (n + 3)x + 3n $，
于是有 $ \begin{cases} n + 3 = -4, \\ m = 3n, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} n = -7, \\ m = -21. \end{cases} $
因此另一个因式为 $ x - 7 $，$ m $ 的值为 $ -21 $。
问题：已知关于 $ x $ 的二次三项式 $ 2x^{2} + 3x - k $ 有一个因式是 $ 2x - 5 $，求另一个因式以及 $ k $ 的值。

答案： 9.另一个因式为x+4,k的值为20