《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

一、与勾股定理有关的面积问题
教材母题 （教材 P173 习题 5.2 第 6 题）
如图①，分别以直角三角形的三条边$a$，$b$，$c$为边，向外作正方形，那么$S_{1}+S_{2}=S_{3}$吗？如图②，分别以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在$S_{1}+S_{2}=S_{3}$？如图③，如果以三条边向外作等边三角形呢？

【思想方法】勾股定理实质上是反映了直角三角形三边平方的关系，因此，以直角三角形的边向外作图形求面积的问题，通常以勾股定理为桥梁求解。

答案： 都存在 S₁＋S₂＝S₃

变形 1 如图①～④，以直角三角形的三条边$a$，$b$，$c$为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形。上述四种情况的面积关系满足$S_{1}+S_{2}=S_{3}$的图形有(D)


A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 【变形1】 D

变形 2 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和其中一条直角边长分别是 13，12，则图中阴影部分的面积是( )

A.16
B.25
C.144
D.169

答案： 【变形2】 B

变形 3 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle DAB=\angle BCD = 90^{\circ}$，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形。若$S_{1}+S_{4}=125$，$S_{3}=46$，则$S_{2}=$( )

A.171
B.79
C.100
D.81

答案： 【变形3】 B

变形 4 [2024 大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是$40^{\circ}$和$50^{\circ}$，其三边上分别有一个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为$40^{\circ}$和$50^{\circ}$的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图②是 1 次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图①中的直角三角形斜边长为 2，则 10 次操作后图形中所有正方形的面积和为48。

答案： 【变形4】 48

变形 5 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$BC = 12$，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为30。

答案： 【变形5】 30

变形 6 如图，在直线$l$上依次摆放着七个正方形。已知斜放置的三个正方形的面积分别是$a$，$b$，$c$，正放置的四个正方形的面积依次是$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$，则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=$a＋c。

答案： 【变形6】 a＋c