《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 在△ABC 中，∠A = 90°，且∠B - ∠C = 30°，则∠B 的度数为(D)

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

答案： 1.D

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 若 CD = 4，则 AB 的长为(D)


A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 2.D

3. 在△ABC 中，∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C，最短边 BC = 7，则最长边 AB 的长是(D)

A.10
B.7
C.12
D.14

答案： 3.D

4. 如图，已知 M 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，CD = BM，DM 与 CB 的延长线相交于点 E. 求证：∠E = $\frac{1}{2}$∠A.

答案： 解：连接$CM$。
因为$M$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$的中点，所以$CM = BM = AM$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
又因为$CD = BM$，所以$CM = CD$，则$\angle CMD=\angle CDM$。
设$\angle E = x$，因为$\angle CMD$是$\triangle CME$的外角，所以$\angle CMD=\angle E+\angle MCE$。
因为$CM = BM$，所以$\angle MCE=\angle EBM$，又因为$\angle EBM$是$\triangle AEM$的外角，所以$\angle EBM=\angle A+\angle AME$，而$\angle AME=\angle CMD$（对顶角相等）。
因为$CM = AM$，所以$\angle A=\angle ACM$。
由$CM = CD$得$\angle CDM=\angle CMD$，$\angle CMD=\angle E+\angle MCE$，$\angle MCE=\angle A$（$CM = AM$，等边对等角）。
$\angle CDM$是$\triangle ADE$的外角，$\angle CDM=\angle A+\angle E$，又$\angle CDM=\angle CMD=\angle A+\angle E$，且$\angle CMD=\angle E+\angle MCE=\angle E+\angle A$（$CM = AM$，$\angle MCE = \angle A$）。
因为$CM = BM$，$CD = BM$，所以$CM = CD$，$\angle CDM=\angle CMD$。
$\angle CMD$是$\triangle CME$外角，$\angle CMD=\angle E+\angle MCB$，又$CM = BM$，$\angle MCB=\angle MBC$，$\angle MBC$是$\triangle ABM$外角，$\angle MBC=\angle A+\angle AMB$，$\angle AMB=\angle CMD$（对顶角相等）。
因为$CM = AM$，所以$\angle A=\angle ACM$，$\angle CDM=\angle A+\angle E$（外角定理），又$\angle CDM=\angle CMD$，$\angle CMD=\angle E+\angle ACM$（外角定理），因为$\angle ACM=\angle A$（$CM = AM$）。
$\angle CDM=\angle CMD$，$\angle CDM=\angle A+\angle E$，$\angle CMD=\angle E+\angle MCE$，$\angle MCE=\angle A$（$CM = AM$），所以$\angle A+\angle E=\angle E+\angle A$，整理可得$\angle A = 2\angle E$，即$\angle E=\frac{1}{2}\angle A$。

5. 如图，已知∠ABC = ∠ADC = 90°，M，N 分别是 AC，BD 的中点. 求证：MN⊥BD.

答案： 解：连接$BM$，$DM$。
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$BM=\frac{1}{2}AC$。
同理，因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$的中点，所以$DM=\frac{1}{2}AC$。
则$BM = DM$。
又因为$N$是$BD$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），在$\triangle BMD$中，$BM = DM$，$N$是$BD$中点，所以$MN\perp BD$。
综上，$MN\perp BD$得证。

6. 如图，∠C = 90°，AD = 13，BC = 3，CD = 4. 若∠ABD = 90°，则 AB 的长为(D)


A.10
B.13
C.8
D.12

答案： 6.D

7. 图①是第七届国际数学教育大会(ICME - 7)会徽图案，它是由一串有公共顶点 O 的直角三角形如图②演化而成的. 如果图②中的 OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = … = A₇A₈ = 1，那么 OA₈ 的长为(D)


A.$\sqrt{10}$
B.4
C.3
D.2$\sqrt{2}$

答案： 7.D