《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. 满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是(D)

A.∠C=∠A+∠B
B.∠A=90°
C.∠A+∠B=90°
D.∠A：∠B：∠C=3：4：5

答案： 7.D

8. [2024 青海]如图，在 Rt△ABC 中，D 是 AC 的中点，∠BDC=60°，AC=6，则 BC 的长是(A)

A.3
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案： 8.A

9. 如图，在△ABC 中，∠B=50°，CD⊥AB 于点 D，∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点 E，F 为边 AC 的中点，CD=CF，则∠ACD+∠CED=(C)

A.125°
B.145°
C.175°
D.190°

答案： 9.C

10. 如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，AB=AD，E，F 分别是 AC，BD 的中点，EF=3，则 AC 的长为6.

答案： 10.6

11. 如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC，∠A=90°，O 为 BC 的中点.
（1）写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A，B，C 的距离的数量关系；
（2）如果点 M，N 分别在线段 AB，AC 上移动，移动中保持 AN=BM.请判断△OMN 的形状，并证明你的结论.

答案： 1. （1）
解：连接$OA$。
因为在$Rt\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A=90^{\circ}$，$O$为$BC$中点，根据直角三角形斜边中线定理$OA=\frac{1}{2}BC$，$OB = OC=\frac{1}{2}BC$。
所以$OA = OB = OC$。
2. （2）
解：$\triangle OMN$是等腰直角三角形。
证明：
因为$AB = AC$，$OB = OC$，$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$，$\angle A = 90^{\circ}$，$OA = OB = OC$，$AN = BM$。
在$\triangle AON$和$\triangle BOM$中：
$OA = OB$（已证），$\angle OAN=\angle B = 45^{\circ}$（$OA$平分$\angle BAC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle OAN = 45^{\circ}$），$AN = BM$（已知）。
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle AON\cong\triangle BOM$。
所以$ON = OM$，$\angle AON=\angle BOM$。
又因为$\angle BOM+\angle AOM = 90^{\circ}$，所以$\angle AON+\angle AOM=\angle MON = 90^{\circ}$。
所以$\triangle OMN$是等腰直角三角形（有一个角是$90^{\circ}$的等腰三角形是等腰直角三角形）。
综上，（1）$OA = OB = OC$；（2）$\triangle OMN$是等腰直角三角形。

12. 【几何直观，推理能力】如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，M，N 分别是 AB，AC 的中点，连接 DM，DN.
（1）若 AB+AC=10，求四边形 AMDN 的周长.
（2）连接 MN，观察并猜想，线段 AD 与线段 MN 有何位置关系？并证明你的猜想.

答案： 1. （1）
解：
因为$AD\perp BC$，$M$是$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$DM = \frac{1}{2}AB$。
同理，因为$N$是$AC$的中点，所以$DN=\frac{1}{2}AC$。
又因为$M$是$AB$的中点，$N$是$AC$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB$，$AN = \frac{1}{2}AC$。
那么四边形$AMDN$的周长$C = AM + MD+DN + NA$。
把$DM=\frac{1}{2}AB$，$DN=\frac{1}{2}AC$，$AM=\frac{1}{2}AB$，$AN=\frac{1}{2}AC$代入上式得：
$C=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC$。
提取公因式$\frac{1}{2}$得$C=\frac{1}{2}(AB + AB+AC + AC)=\frac{1}{2}(2AB + 2AC)=AB + AC$。
已知$AB + AC = 10$，所以四边形$AMDN$的周长为$10$。
2. （2）
解：
猜想：$AD\perp MN$。
证明：
因为$M$，$N$分别是$AB$，$AC$的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，所以$MN// BC$。
又因为$AD\perp BC$，根据如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线，所以$AD\perp MN$。
综上，（1）四边形$AMDN$的周长为$10$；（2）$AD\perp MN$。