《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

8. 我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”. 如图，若勾 AF = 6，弦 AB = 10，则小正方形 EFGH 的面积是4.

答案： 8.4

9. 如图，一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，开始时点 B 到墙脚 C 的距离为 0.7 m. 若梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离相等，则下滑的距离是1.7m.

答案： 9.1.7

10. 如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 10 m，为了使电线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起电线. 已知两杆之间的距离是 8 m，电线 DE 的长度为 10 m，求水泥撑杆 BD 的高度（电线杆、水泥杆的粗细忽略不计，点 A，B，C 在同一水平线上）.

答案： 10.水泥撑杆BD的高度为4m

11. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AD = 12，BD = 16，CD = 5.
（1）求△ABC 的周长；
（2）判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由.

答案： 1. （1）
首先，在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边）：
已知$AD = 12$，$BD = 16$，则$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}$。
把$AD = 12$，$BD = 16$代入可得$AB=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144 + 256}=\sqrt{400}=20$。
然后，在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理：
已知$AD = 12$，$CD = 5$，则$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$。
把$AD = 12$，$CD = 5$代入可得$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
接着，求$BC$的长：
因为$BC=BD + CD$，$BD = 16$，$CD = 5$，所以$BC=16 + 5=21$。
最后，求$\triangle ABC$的周长$C$：
$C=AB + BC+AC$，把$AB = 20$，$BC = 21$，$AC = 13$代入可得$C=20 + 21+13=54$。
2. （2）
判断$\triangle ABC$是不是直角三角形：
计算$AB^{2}+AC^{2}$和$BC^{2}$的值。
已知$AB = 20$，$AC = 13$，$BC = 21$，则$AB^{2}+AC^{2}=20^{2}+13^{2}=400 + 169=569$，$BC^{2}=21^{2}=441$。
因为$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$。
答：（1）$\triangle ABC$的周长为$54$；（2）$\triangle ABC$不是直角三角形，因为$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$。

12. 如图，已知等腰△ABC 的底边 BC = 17 cm，D 是腰 BA 的延长线上一点，连接 CD，且 BD = 15 cm，CD = 8 cm.
（1）判断△BDC 的形状，并说明理由；
（2）求△ABC 的周长.

答案： 1. （1）判断$\triangle BDC$的形状：
解：在$\triangle BDC$中，已知$BD = 15cm$，$CD = 8cm$，$BC = 17cm$。
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为最长边），计算$BD^{2}+CD^{2}$的值：
$BD^{2}+CD^{2}=15^{2}+8^{2}=225 + 64=289$，而$BC^{2}=17^{2}=289$。
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$。
由勾股定理的逆定理可知，$\triangle BDC$是直角三角形，且$\angle D = 90^{\circ}$。
2. （2）求$\triangle ABC$的周长：
设$AB = AC=x cm$，则$AD=(15 - x)cm$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$（因为$\angle D = 90^{\circ}$），即$x^{2}=(15 - x)^{2}+8^{2}$。
展开$(15 - x)^{2}+8^{2}$：
根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(15 - x)^{2}+8^{2}=225-30x+x^{2}+64$。
所以$x^{2}=x^{2}-30x + 289$。
移项可得：$x^{2}-x^{2}+30x=289$。
即$30x = 289$，解得$x=\frac{289}{30}$。
那么$\triangle ABC$的周长$C = 2x+BC$。
把$x=\frac{289}{30}$，$BC = 17$代入得：$C = 2×\frac{289}{30}+17=\frac{289}{15}+17=\frac{289 + 255}{15}=\frac{544}{15}(cm)$。
综上，（1）$\triangle BDC$是直角三角形，理由是$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$；（2）$\triangle ABC$的周长为$\frac{544}{15}cm$。