《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 某校数学课外活动小组的同学们，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.
【探究发现】
$6 + 6 = 2\sqrt{6×6} = 12$；$\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = 2\sqrt{\frac{1}{5}×\frac{1}{5}} = \frac{2}{5}$；$0.3 + 0.3 = 2\sqrt{0.3×0.3} = 0.6$；$\frac{1}{3} + 3 ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3}×3} = 2$；$0.2 + 3.2 ＞ 2\sqrt{0.2×3.2} = 1.6$；$\frac{1}{3} + \frac{1}{27} ＞ 2\sqrt{\frac{1}{3}×\frac{1}{27}} = \frac{2}{9}$.
【猜想结论】
如果$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，那么存在$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$(当且仅当$a = b$时，等号成立).
【证明结论】
(1)补全横线上的说理过程：
因为$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geqslant 0$，
所以①当$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$，即$a = b$时，$a - 2\sqrt{ab} + b = 0$，所以$a + b = 2\sqrt{ab}$；
②当$\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq 0$，即$a \neq b$时，a + b ＞ 2\sqrt{ab}.
综上所述，若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$成立(当且仅当$a = b$时，等号成立).
【应用结论】
(2)已知代数式$x + \frac{1}{x}(x ＞ 0)$，当$x$取何值时，$x + \frac{1}{x}$的值最小？最小值是多少？
(3)已知代数式$\frac{1}{x - 5} + x(x ＞ 5)$，当$x$取何值时，$\frac{1}{x - 5} + x$的值最小？最小值是多少？

答案： $1.(1)②a + b ＞ 2\sqrt{ab}(2)$当x = 1时，$x + \frac{1}{x}$的值最小，最小值是2
(3)当x = 6时，$\frac{1}{x - 5} + x$的值最小，最小值是7

【拓展应用】
(4)如图，学校计划一边靠墙，其他边用篱笆围成三小块面积均为$24\ m^2$的长方形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为$x\ m$，当$x$为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？

答案：
(4)当x为$3\sqrt{2}m$时，所用篱笆总长度最短，最短长度为$24\sqrt{2}m2.(1)3.5 (2)S_{\triangle KMN} = 3(3)$改造后的六边形花圃QRDEFG的面积为19

2. 综合与实践：构图法求三角形的面积.

答案： 1. （1）
解：根据构图法，$S_{\triangle ABC}=3×3 - \frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×3$
先计算各项：
$3×3 = 9$，$\frac{1}{2}×1×2 = 1$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×3 = 3$。
再计算面积：
$S_{\triangle ABC}=9-(1 + \frac{3}{2}+3)=9-(4+\frac{3}{2})=\frac{7}{2}$。
2. （2）
解：因为$KM=\sqrt{5}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}$，$MN = 2\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}$，$KN=\sqrt{17}=\sqrt{1^{2}+4^{2}}$。
画出$\triangle KMN$（图略）。
然后求面积：$S_{\triangle KMN}=4×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×4$
先计算各项：
$4×2 = 8$，$\frac{1}{2}×1×2 = 1$，$\frac{1}{2}×2×2 = 2$，$\frac{1}{2}×1×4 = 2$。
再计算面积：
$S_{\triangle KMN}=8-(1 + 2+2)=3$。
3. （3）
解：
先求$S_{\triangle PQR}$：$S_{\triangle PQR}=3×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×3$
先计算各项：$3×2 = 6$，$\frac{1}{2}×1×2 = 1$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$。
则$S_{\triangle PQR}=6-(1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2})=2$。
因为$S_{正方形PQGF}=(2\sqrt{2})^{2}=8$，$S_{正方形PRDE}=(\sqrt{5})^{2}=5$。
由构图法可知$S_{\triangle FPE}=S_{\triangle PQR}=2$。
所以$S_{六边形QRDEFG}=S_{正方形PQGF}+S_{正方形PRDE}+S_{\triangle PQR}+S_{\triangle FPE}+S_{\triangle PQR}$
$S_{六边形QRDEFG}=8 + 5+2+2+2=19$。
综上，（1）答案为$\frac{7}{2}$；（2）$\triangle KMN$面积为$3$；（3）六边形$QRDEFG$面积为$19$。