《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 直角三角形的两个锐角互余.

答案： 1.互余

2. 有两个角互余的三角形是直角三角形.

答案： 2.互余

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

答案： 3.一半

例 1 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，FB 平分∠ABC 交 AD 于点 E，交 AC 于点 F.求证：AE=AF.

答案： 证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°.
∵AD⊥BC，
∴∠EDB=90°，
∴∠EBD+∠BED=90°.
∵FB平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD.
∴∠AFB=∠BED.
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AFB=∠AEF.
∴AE=AF.

例 2 如图，BN，CM 分别是△ABC 的两条高，D，E 分别是 BC，MN 的中点.求证：DE⊥MN.

答案：
连接$DM$，$DN$。
$\because BN$，$CM$分别是$\triangle ABC$的两条高，
$\therefore BN \perp AC$，$CM \perp AB$。
$\therefore \angle BMC = \angle BNC = 90^{\circ}$。
$\because D$是$BC$的中点，
在$Rt \triangle BMC$中，$D$为斜边$BC$中点，
$\therefore DM = \frac{1}{2}BC$，
在$Rt \triangle BNC$中，$D$为斜边$BC$中点，
$\therefore DN = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore DM = DN$。
$\because E$为$MN$的中点，
$\therefore DE \perp MN$。

1. 在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，则∠B 的度数为(C)

A.15°
B.30°
C.75°
D.85°

答案： 1.C

2. 如图，AD 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高，则图中与∠B 互余的角有(B)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 2.B

3. 在△ABC 中，已知∠A=50°，∠B=40°，则△ABC 是(B)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定

答案： 3.B

4. 如图，E 是△ABC 中 AC 上的一个点，过点 E 作 ED⊥AB，垂足为点 D.若∠1=∠2，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？

答案： 解：$\triangle ABC$是直角三角形。
因为$ED\perp AB$，所以$\angle ADE = 90^{\circ}$，则$\angle 1+\angle A=90^{\circ}$。
又因为$\angle 1 = \angle 2$，所以$\angle 2+\angle A=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，这里$\angle B=\angle 2$，所以$\angle C=180^{\circ}-(\angle A + \angle B)=180^{\circ}-(\angle A+\angle 2)=90^{\circ}$。
有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。

5. 如图，公路 AC，BC 互相垂直，M 为公路 AB 的中点，为测量湖泊两侧 C，M 两点间的距离，工人师傅测得 AB 的长为 5 km，则 M，C 两点间的距离为(A)

A.2.5 km
B.3 km
C.4.5 km
D.5 km

答案： 5.A

6. 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线.若∠A=20°，则∠BDC 的度数为40°.

答案： 6.40°