《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分线。已知$AB = 13,BC = 24$，则$AD$的长为5。

答案： 5. 5

6. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，且$\angle A,\angle B,\angle C$的对应边分别为$a,b,c$。
(1)已知$c = 25,b = 15$，求$a$的长；
(2)已知$a = 7,b = 24$，求$c$的长；
(3)已知$a:b = 1:3$，且$c = 10$，求$a,b$的长。

答案： 6.
(1)$a = 20$
(2)$c = 25$
(3)$a = \sqrt{10},b = 3\sqrt{10}$

7. 【数学文化】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展。现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ},AC = b,BC = a,AB = c$。求证：$a^{2}+b^{2} = c^{2}$。

答案： 解：大正方形的面积可以表示为$c^{2}$。
大正方形的面积也可以表示为四个全等直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。
四个直角三角形的面积为$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$，中间小正方形的边长为$(b - a)$，其面积为$(b - a)^{2}$。
所以大正方形面积又可表示为$2ab+(b - a)^{2}$。
则$c^{2}=2ab+(b - a)^{2}$
展开$(b - a)^{2}$得$c^{2}=2ab + b^{2}-2ab + a^{2}$
化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
综上，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得证。

8. 若直角三角形的三边长分别为$2,4,x$，则$x$的值为(D)

A.$3$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{3}$

答案： 8. D

9. 如图，以$Rt\triangle ABC$的三边为直径分别向外作半圆，若斜边$AB = 3$，则图中阴影部分的面积为(C)

A.$9\pi$
B.$\frac{9}{2}\pi$
C.$\frac{9}{4}\pi$
D.$3\pi$

答案： 9. C

10. 【教材P167“议一议”改编】如图，数轴上的点$O$表示的数是$0$，点$A$表示的数是$2$，$OB\perp OA$，垂足为$O$，且$OB = 1$，以点$A$为圆心，$AB$长为半径画弧，交数轴于点$C$，则点$C$表示的数为(C)

A.$2-\sqrt{3}$
B.$-2+\sqrt{5}$
C.$2-\sqrt{5}$
D.$-2+\sqrt{3}$

答案： 10. C

11. 【数学文化】[2024眉山]如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成。若图①中大正方形的面积为$24$，小正方形的面积为$4$，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为(D)

A.$24$
B.$36$
C.$40$
D.$44$

答案： 11. D