《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

6. 如图，$AD$平分$∠BAC$，$BD = CD$，则$∠B$与$∠C$相等吗？为什么？
解：相等.理由如下：
因为$AD$平分$∠BAC$，
所以$∠BAD = ∠CAD$.
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AD = AD,\\ ∠BAD = ∠CAD,\\ BD = CD,\end{array}\right.$
所以$\triangle ABD≌\triangle ACD$（边角边）.
所以$∠B = ∠C$.
以上解答是否正确？若不正确，请说明理由.

答案： 解：不正确。
理由：用“边角边”判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$BD = CD$，$∠BAD = ∠CAD$，$AD = AD$，这里的$∠BAD$不是$BD$与$AD$的夹角，$∠CAD$不是$CD$与$AD$的夹角，不满足“边角边”的判定条件，不能得出$\triangle ABD≌\triangle ACD$。
正确的解法：
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$平分$∠BAC$，所以$DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt\triangle BDE$和$Rt\triangle CDF$中，
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DE = DF\end{array}\right.$
所以$Rt\triangle BDE≌Rt\triangle CDF$（$HL$定理）。
所以$∠B = ∠C$。

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$上的中点，连接$AD$并延长到点$E$，使$DE = AD$，连接$CE$.
（1）求证：$\triangle ABD≌\triangle ECD$；
（2）若$\triangle ABD$的面积为$12$，求$\triangle ACE$的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$D$是$BC$中点，所以$BD = CD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中：
$BD = CD$（已证），
$\angle ADB=\angle EDC$（对顶角相等），
$AD = ED$（已知）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD≌\triangle ECD$。
2. （2）
因为$\triangle ABD≌\triangle ECD$，所以${S}_{\triangle ABD}={S}_{\triangle ECD}=12$。
又因为$D$是$BC$中点，所以${S}_{\triangle ABD}={S}_{\triangle ACD}=12$（等底等高的三角形面积相等，$BD = CD$，$\triangle ABD$与$\triangle ACD$高相同）。
那么${S}_{\triangle ACE}={S}_{\triangle ACD}+{S}_{\triangle ECD}=12 + 12=24$。
综上，（1）已证明$\triangle ABD≌\triangle ECD$；（2）$\triangle ACE$的面积为$24$。

8. 如图，公园里有一条“Z”字形道路$ABCD$，其中$AB// CD$，在$AB$，$CD$，$BC$三段路上各有一个石凳$E$，$F$，$M$，且$BE = CF$，$M$是$BC$的中点，试说明三个石凳$E$，$F$，$M$在同一条直线上.（提示：通过证明$∠EMF = 180^{\circ}$来求解）

答案： 解：
因为$AB// CD$，所以$\angle B=\angle C$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$M$是$BC$的中点，所以$BM = CM$。
在$\triangle BEM$和$\triangle CFM$中，$\begin{cases}BE = CF\\\angle B=\angle C\\BM = CM\end{cases}$，
所以$\triangle BEM\cong\triangle CFM$（$SAS$）。
则$\angle BME=\angle CMF$。
因为$\angle BME+\angle EMC = 180^{\circ}$，
所以$\angle CMF+\angle EMC = 180^{\circ}$，即$\angle EMF = 180^{\circ}$。
所以三个石凳$E$，$F$，$M$在同一条直线上。

9. 【推理能力】如图，点$E$，$F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上，$∠EAF = 45^{\circ}$.求证：$EF = BE + FD$.

答案： 解：延长$CB$至点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABG=\angle D = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABG$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle ABG=\angle D\\BG = DF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABG\cong\triangle ADF$。
所以$AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$。
因为$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle DAF = 90^{\circ}-\angle EAF=90^{\circ} - 45^{\circ}=45^{\circ}$。
又因为$\angle BAG=\angle DAF$，所以$\angle BAE+\angle BAG = 45^{\circ}$，即$\angle GAE=\angle EAF = 45^{\circ}$。
在$\triangle GAE$和$\triangle FAE$中，$\begin{cases}AG = AF\\\angle GAE=\angle EAF\\AE = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle GAE\cong\triangle FAE$。
所以$EF = GE$。
又因为$GE = BE + BG$，$BG = DF$，所以$EF = BE + FD$。
综上，$EF = BE + FD$得证。