《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

3. 认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
【探究 1】如图①，在△ABC 中，O 是∠ABC 的平分线 BO 与∠ACB 的平分线 CO 的交点，通过分析发现∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
因为 BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
所以∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB，
所以∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB).
又因为∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
所以∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A，
所以∠BOC = 180° - (∠1 + ∠2)
= 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A)
= 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
【探究 2】(1)如图②，O 是∠ABC 的平分线 BO 与外角∠ACD 的平分线 CO 的交点. 试分析∠BOC 与∠A 有怎样的数量关系？请说明理由.
【探究 3】(2)如图③，O 是外角∠DBC 的平分线 BO 与外角∠ECB 的平分线 CO 的交点. 试说明∠BOC 与∠A 之间的数量关系.

答案： 1. （1）
解：$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle A$。
理由如下：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$；因为$CO$平分$\angle ACD$，所以$\angle OCD=\frac{1}{2}\angle ACD$。
又因为$\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角，所以$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$。
而$\angle OCD$是$\triangle BOC$的外角，所以$\angle OCD=\angle BOC+\angle OBC$。
即$\frac{1}{2}\angle ACD=\angle BOC+\frac{1}{2}\angle ABC$。
把$\angle ACD=\angle A + \angle ABC$代入$\frac{1}{2}\angle ACD=\angle BOC+\frac{1}{2}\angle ABC$中，得$\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)=\angle BOC+\frac{1}{2}\angle ABC$。
展开式子：$\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle ABC=\angle BOC+\frac{1}{2}\angle ABC$。
两边同时减去$\frac{1}{2}\angle ABC$，可得$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle A$。
2. （2）
解：
因为$BO$平分$\angle DBC$，所以$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle DBC$；因为$CO$平分$\angle ECB$，所以$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ECB$。
又因为$\angle DBC = 180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle ECB = 180^{\circ}-\angle ACB$。
所以$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle DBC+\angle ECB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC + 180^{\circ}-\angle ACB)$。
因为$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$，则$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(360^{\circ}-( \angle ABC+\angle ACB))$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A$代入上式得：$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(360^{\circ}-(180^{\circ}-\angle A))=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)$。
所以$\angle BOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
综上，（1）$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle A$；（2）$\angle BOC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。

4. 如图①，AD 平分∠BAC，AE ⊥ BC 于点 E，∠B = 38°，∠C = 64°.
(1)∠DAE = 13°；
(2)如图②，若把“AE ⊥ BC”变成“点 F 在 DA 的延长线上，FE ⊥ BC 于点 E”，∠B = α，∠C = β(α ＜ β)，请用含 α，β 的代数式表示∠DFE.

答案： $4.(1)13° (2)∠DFE = \frac{1}{2}(β - α)$