《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为点F，DE=BD，CE=FB。求证：点D在∠CAB的平分线上。

答案： 1. 首先，证明$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFB$：
在$Rt\triangle DCE$和$Rt\triangle DFB$中，已知$DE = BD$（斜边相等），$CE = FB$（直角边相等）。
根据直角三角形全等判定定理$HL$（斜边 - 直角边定理）：
对于$Rt\triangle DCE$和$Rt\triangle DFB$，$\left\{\begin{array}{l}DE = BD\\CE = FB\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFB(HL)$。
2. 然后，得出$DC = DF$：
因为全等三角形的对应边相等，由$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFB$，所以$DC = DF$。
3. 最后，根据角平分线的判定定理：
角平分线的判定定理为：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
已知$\angle C = 90^{\circ}$，即$DC\perp AC$，$DF\perp AB$，且$DC = DF$。
所以点$D$在$\angle CAB$的平分线上。
综上，点$D$在$\angle CAB$的平分线上得证。

8. [2024内蒙古]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D。若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(B)

A.8
B.16
C.12
D.24

答案： 8.B

9. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H。
（1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上。

答案： 1. （1）
解：
因为$BP$平分$\angle ABC$，$PH\perp BA$，$PD\perp AC$（这里$PH$是点$P$到$BA$的距离，$PD$不是到$BC$的距离，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等），设点$P$到$BC$的距离为$h$。
已知$PH = 5cm$，由角平分线$BP$的性质可得$PH=h$（角平分线上的点到角两边的距离相等，$\angle ABC$的两边是$BA$和$BC$，$P$在$\angle ABC$的平分线上，$PH\perp BA$，$P$到$BC$的距离设为$h$，且$PH$，$h$分别是$P$到$\angle ABC$两边的距离）。
所以点$P$到直线$BC$的距离为$5cm$。
2. （2）
证明：
因为$BP$平分$\angle ABC$，$PH\perp BA$，点$P$到$BC$的距离为$h$，所以$PH = h$（角平分线性质：$\angle ABC$的平分线$BP$上的点$P$到$\angle ABC$两边$BA$、$BC$的距离相等）。
又因为$CP$平分$\angle ACE$，$PD\perp AC$，设点$P$到$CE$的距离为$d$，则$PD = d$（角平分线性质：$\angle ACE$的平分线$CP$上的点$P$到$\angle ACE$两边$AC$、$CE$的距离相等）。
而点$P$到$BC$的距离与点$P$到$CE$的距离相等（$BC$和$CE$在同一条直线上），所以$PH = PD$。
因为$PH\perp BA$，$PD\perp AC$，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上（$\angle HAC$的两边是$HA$和$AC$，点$P$到$HA$的距离$PH$和点$P$到$AC$的距离$PD$相等）。
所以点$P$在$\angle HAC$的平分线上。
综上，（1）点$P$到直线$BC$的距离为$5cm$；（2）证明如上。

10. 【几何直观，推理能力】【问题引出】如图①，在∠CAB的两边分别取两点M，N，使得AM=AN，再分别过点M，N作AC，AB的垂线MO，NO交于点O，作射线AO，则AO平分∠CAB。
【问题探究】小颖得到启示，如图②，将两块相同的三角尺较短的直角边分别与∠CAB的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合放置，两个三角尺较长的直角边相交于点O，作射线AO，则AO平分∠CAB。
（1）请你根据小颖的作法，试说明射线AO平分∠CAB；
【问题拓展】小宇用直尺按下面的方法作角平分线：如图③，在∠CAB两边上，分别取AE=AD，AG=AF（点E，G不重合），连接EF，GD相交于点O，作射线AO，则AO平分∠CAB。
（2）请你判断小宇的结论是否正确，并说明理由。

答案： 1. （1）
解：设三角尺的直角顶点分别为$E$，$F$（$E$在$AC$上，$F$在$AB$上）。
因为两块三角尺相同，所以$OE = OF$（三角尺较长直角边相等），且$OE\perp AC$，$OF\perp AB$。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
因为点$O$到$AC$的距离是$OE$，点$O$到$AB$的距离是$OF$，$OE = OF$，所以射线$AO$平分$\angle CAB$。
2. （2）
解：小宇的结论正确。
理由：在$\triangle AEF$和$\triangle ADG$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AD\\\angle EAF=\angle DAG\\AF = AG\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle AEF\cong\triangle ADG$。
所以$\angle AEF=\angle ADG$。
因为$AE = AD$，$AG = AF$，所以$EG=AE - AG$，$DF = AD - AF$，则$EG = DF$。
在$\triangle EGO$和$\triangle DFO$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EOG=\angle DOF\\\angle AEF=\angle ADG\\EG = DF\end{array}\right.$。
根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle EGO\cong\triangle DFO$。
所以$OE = OD$。
又因为$AE = AD$，在$\triangle AEO$和$\triangle ADO$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AD\\AO = AO\\OE = OD\end{array}\right.$。
根据$SSS$（边边边）定理可得$\triangle AEO\cong\triangle ADO$。
所以$\angle EAO=\angle DAO$，即$AO$平分$\angle CAB$。
综上，（1）射线$AO$平分$\angle CAB$；（2）小宇的结论正确。