《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 两角及其夹边分别相等的

两

个

三角形全等，简写成“角边角”。

答案： 1.夹边 角边角

2. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”。

答案： 2.相等 对边 角角边

例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB。求证：△CED≌△ABC。

答案： 因为 $DE \perp AC$，$\angle B = 90°$，
所以 $\angle DEC = \angle B = 90°$。
因为 $CD // AB$，
所以 $\angle DCE = \angle A$。
在 $\triangle CED$ 和 $\triangle ABC$ 中，
$\left\{ \begin{array}{l}\angle DCE = \angle A, \\CE = AB, \\\angle DEC = \angle B,\end{array} \right.$
所以 $\triangle CED \cong \triangle ABC$（角边角）。

例2 如图，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE，试判断AB与AC的数量关系，并说明理由。

答案： AB=AC。理由如下：
因为∠BAC=∠DAE，
所以∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BAD = ∠CAE, \\∠ABD = ∠ACE, \\BD = CE,\end{array}\right.$
所以△ABD≌△ACE（AAS），
所以AB=AC。

1. 如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“角边角”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是(A)

A.∠A=∠D
B.AB=DE
C.BF=CE
D.∠B=∠D

答案： 1.A

2. 如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E。求证：AC=DC。

答案： 解：在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases}\angle A = \angle D \\AB = DE \\\angle B = \angle E\end{cases}$
根据“角边角”（$ASA$）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle DEC$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AC = DC$。

3. [2024牡丹江]如图，在△ABC中，D是边AB上一点，CF//AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件：_______，使得AE=CE。(只添一种情况即可)

答案： 解：因为$CF// AB$，所以$\angle ADE=\angle F$。
若添加条件$DE = EF$，
在$\triangle ADE$和$\triangle CFE$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle F\\DE = EF\\\angle AED=\angle CEF\end{cases}$（对顶角相等）
根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ADE\cong\triangle CFE$，
所以$AE = CE$。
故答案可以为$DE = EF$（答案不唯一）。

4. [2024镇江]如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB。
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=_______。

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle BAD$中：
已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$（直角相等），$\angle CBA=\angle DAB$（已知条件），$AB = BA$（公共边）。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
2. （2）
因为$\angle DAB = 70^{\circ}$，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD=180^{\circ}-\angle D-\angle DAB$（三角形内角和为$180^{\circ}$），即$\angle ABD = 180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC\cong\triangle BAD$，所以$\angle CAB=\angle ABD$（全等三角形对应角相等）。
所以$\angle CAB = 20^{\circ}$。
综上，（1）已证明$\triangle ABC\cong\triangle BAD$；（2）$\angle CAB = 20^{\circ}$。