《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 一般地，对于多项式 $ f $ 与 $ g $，如果有多项式 $ h $ 使得 $ f = gh $，那么把 $ g $ 叫作 $ f $ 的一个因式。此时，$ h $ 也是 $ f $ 的一个因式。

答案： 1.因式 因式

2. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。

答案： 2.乘积

3. 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，可以利用多项式的乘法运算检验因式分解的结果是否正确。

答案： 3.乘法运算

例 下列各式从左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)$ 24x^{2}y = 4x \cdot 6xy $；
(2)$ (x + 5)(x - 5) = x^{2} - 25 $；
(3)$ x^{2} + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) $；
(4)$ 9x^{2} - 6x + 1 = 3x(3x - 2) + 1 $；
(5)$ x^{2} + 1 = x\left(x + \frac{1}{x}\right) $。

答案： 答题卡：
(1) 不是因式分解。原因：左边为单项式，不是多项式，不满足因式分解的定义。
(2) 不是因式分解。原因：右边 $x^2 - 25$ 是单项式与多项式平方差的结果，不是乘积形式。
(3) 是因式分解。原因：右边为 $(x + 3)(x - 1)$，是多项式的乘积形式，且左右两边相等。
(4) 不是因式分解。原因：右边 $3x(3x - 2) + 1$ 不是纯粹的乘积形式，包含加法运算。
(5) 不是因式分解。原因：右边因式 $x + \frac{1}{x}$ 包含分式，不是整式。
结论：
(3) 是因式分解；
(1)
(2)
(4)
(5) 不是因式分解。

1. [2025 耒阳模拟]下列等式从左边到右边的变形是因式分解的是(C)

A.$ (a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9 $
B.$ x^{2} + 4x + 10 = (x + 2)^{2} + 6 $
C.$ x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} $
D.$ x^{2} - 4 + 3x = (x - 2)(x + 2) + 3x $

答案： 1.C

2. 【教材 $ P3 $ 例 2 变式】下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可。
(1)$ (2x + 3)(2x - 3) = 4x^{2} - 9 $；
(2)$ 7\sqrt{3}x^{2} + 2\sqrt{3}x = \sqrt{3}x(7x + 2) $；
(3)$ x^{2} - 2x - 15 = x(x - 2) + 15 $；
(4)$ 6xy - 3x + 2y - 1 = (3x + 1)(2y - 1) $。

答案： 1. 对于$(2x + 3)(2x - 3)=4x^{2}-9$：
解：不是因式分解。因为因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，而此式是整式乘法，是从积到和差的形式。
2. 对于$7\sqrt{3}x^{2}+2\sqrt{3}x=\sqrt{3}x(7x + 2)$：
解：是因式分解。理由：把多项式$7\sqrt{3}x^{2}+2\sqrt{3}x$化为了$\sqrt{3}x$与$(7x + 2)$这两个整式积的形式。它的因式为$\sqrt{3}x$和$(7x + 2)$。
3. 对于$x^{2}-2x - 15=x(x - 2)+15$：
解：不是因式分解。因为右边$x(x - 2)+15$是和的形式，不是几个整式积的形式。
4. 对于$6xy-3x + 2y-1=(3x + 1)(2y - 1)$：
解：是因式分解。理由：把多项式$6xy-3x + 2y-1$化为了$(3x + 1)$与$(2y - 1)$这两个整式积的形式。它的因式为$(3x + 1)$和$(2y - 1)$。

3. 下列多项式中，因式分解的结果为 $ (3a - y)(3a + y) $ 的是(C)

A.$ 9a^{2} + y^{2} $
B.$ -9a^{2} + y^{2} $
C.$ 9a^{2} - y^{2} $
D.$ -9a^{2} - y^{2} $

答案： 3.C

4. 已知把多项式 $ x^{2} + ax + b $ 因式分解的结果是 $ (x + 1)(x - 3) $，则 $ a $，$ b $ 的值分别是(B)

A.$ 2 $，$ 3 $
B.$ -2 $，$ -3 $
C.$ -2 $，$ 3 $
D.$ 2 $，$ -3 $

答案： 4.B