《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

8. [2025长沙模拟]下列四个分式中，为最简分式的是(A)

A.$\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}$
B.$\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-4}$
C.$\frac{n^{2}-m^{2}}{m + n}$
D.$\frac{4mx}{5mx}$

答案： 8A

$9. [2025$长沙模拟$]$将分式$\frac{2a^{2}b^{2}}{4a^{3}b}$化成最简分式为　　$\frac{b}{2a}$　　。　　

答案： $9\frac{b}{2a}$

10. 将分式$\frac{a + 0.2b}{0.5a - b}$变形正确的是(C)

A.$\frac{a + 2b}{5a - b}$
B.$\frac{5a + b}{a - 2b}$
C.$\frac{10a + 2b}{5a - 10b}$
D.$-\frac{10a + 2b}{b - 5a}$

答案： 10C

11. [2025济南模拟]小丽在化简分式$\frac{*}{x^{2}-1}=\frac{x - 1}{x + 1}$时，“*”部分不小心滴上墨水，请你推算“*”部分的式子是(A)

A.$x^{2}-2x + 1$
B.$x^{2}+2x + 1$
C.$x^{2}-1$
D.$x^{2}-2x - 1$

答案： 11A

$12. [2025$娄底模拟$]$如图，图$①$是一个边长为$a$的正方形剪去一个边长为$1$的小正方形，图$②$是一个边长为$a - 1$的正方形。记图$①、$图$②$中阴影部分的面积分别为$S_{1}，$$S_{2}，$则$\frac{S_{2}}{S_{1}}$可化简为　　$\frac{a-1}{a+1}$　　。　　

答案： $12\frac{a-1}{a+1}$

13. 先约分，再求值：
(1)$\frac{2a^{2}-2}{a - 1}-2$，其中$a=\frac{1}{2}$；
(2)$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$，其中$a = 2$，$b=-\frac{1}{2}$。

答案： 13
(1)2a 原式=1
$(2)\frac{a+2b}{a-2b}$原式$=\frac{1}{3}$

14. 【创新意识】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”。
(1)下列分式：①$\frac{x - 1}{x^{2}+1}$；②$\frac{a - 2b}{a^{2}-b^{2}}$；③$\frac{x + y}{x^{2}-y^{2}}$；④$\frac{a^{2}-b^{2}}{(a + b)^{2}}$。其中是“和谐分式”的是②(填序号)。
(2)若$a$为正整数，且分式$\frac{x - 1}{x^{2}+ax + 4}$为“和谐分式”，请写出$a$的值。

答案： 14
(1)②
(2)a=4或a=5