《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

6. [2025株洲模拟]如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且AB = AC，AP = AQ。求证：BP = CQ。

答案： 解：
因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
因为$AP = AQ$，所以$\angle APQ=\angle AQP$。
又因为$\angle APQ+\angle APB = 180^{\circ}$，$\angle AQP+\angle AQC = 180^{\circ}$，所以$\angle APB=\angle AQC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle ACQ$中，$\begin{cases}\angle B=\angle C\\\angle APB=\angle AQC\\AB = AC\end{cases}$，
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABP\cong\triangle ACQ$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BP = CQ$。

7. 已知△ABC是等腰三角形。若∠A = 40°，则△ABC的顶角度数是40°或100°。

答案： 7.40°或100°

8. [2024兰州]如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数是(B)

A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

答案： 8.B

9. [2025徐州模拟]借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC = CD = DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE = 75°，则∠CDE的度数是(D)

A.60°
B.65°
C.75°
D.80°

答案： 9.D

10. 【推理能力】【问题背景】如图，在△ABD中，BA = BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA = EC。
【初步感知】
(1)若∠BAE = 90°，∠B = 45°，则∠DAC = _______。
【深入探究】
(2)如果把(1)中的条件“∠B = 45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由。
【延伸拓展】
(3)如果把(1)中的条件“∠B = 45°”去掉，再将“∠BAE = 90°”改为“∠BAE = n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。(结果可用含n的式子表示)

答案： 1. （2）
解：$\angle DAC$的度数不会改变。
设$\angle B=\alpha$，因为$BA = BD$，根据等腰三角形内角和公式$\angle ADB=\angle BAD=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$。
又因为$\angle AEB=\angle EAC+\angle ECA = 2\angle EAC$，且$\angle AEB=\angle B+\angle BAE$（三角形外角性质），$\angle BAE = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB=\alpha + 90^{\circ}$，则$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle AEB=\frac{\alpha + 90^{\circ}}{2}$。
根据$\angle DAC=\angle ADB-\angle EAC$，将$\angle ADB = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$，$\angle EAC=\frac{\alpha + 90^{\circ}}{2}$代入可得：
$\angle DAC=(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-\frac{\alpha + 90^{\circ}}{2}$
$=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}-\frac{90^{\circ}}{2}$
$=45^{\circ}$。
2. （3）
解：设$\angle B = \beta$，因为$BA = BD$，所以$\angle ADB=\angle BAD=\frac{180^{\circ}-\beta}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$，$\angle AEB=\angle EAC+\angle ECA = 2\angle EAC$（三角形外角性质），又$\angle AEB=\angle B+\angle BAE$，$\angle BAE=n^{\circ}$，所以$\angle AEB=\beta + n^{\circ}$，则$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle AEB=\frac{\beta + n^{\circ}}{2}$。
根据$\angle DAC=\angle ADB-\angle EAC$，将$\angle ADB = 90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$，$\angle EAC=\frac{\beta + n^{\circ}}{2}$代入可得：
$\angle DAC=(90^{\circ}-\frac{\beta}{2})-\frac{\beta + n^{\circ}}{2}$
$=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\beta}{2}-\frac{n^{\circ}}{2}$
$=90^{\circ}-\beta-\frac{n^{\circ}}{2}$。
又因为$\angle ADB=\angle B+\angle BAD$（这里$\angle BAD$与前面设的$\angle ADB=\angle BAD$不冲突，是从外角角度看），$\angle ADB = 90^{\circ}-\frac{\beta}{2}$，$\angle BAD$（这里$\angle BAD$是$\triangle ABD$的内角）$=\frac{180^{\circ}-\beta}{2}$，我们重新推导：
因为$\angle AEB=\angle B+\angle BAE=\beta + n^{\circ}$（三角形外角性质），$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle AEB$（$EA = EC$），$\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$（$BA = BD$）。
$\angle DAC=\angle ADB-\angle EAC$，$\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$，$\angle EAC=\frac{\angle B+\angle BAE}{2}$。
$\angle DAC=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}-\frac{\angle B + n^{\circ}}{2}$
$=\frac{180^{\circ}-\angle B-\angle B - n^{\circ}}{2}$
$=\frac{180^{\circ}-n^{\circ}}{2}-\angle B$（此方法较复杂，换一种方法）。
设$\angle B=x$，因为$BA = BD$，所以$\angle ADB=\frac{180 - x}{2}$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$，$\angle AEB=\angle EAC+\angle ECA = 2\angle EAC$，$\angle AEB=\angle B+\angle BAE=x + n$，则$\angle EAC=\frac{x + n}{2}$。
$\angle DAC=\angle ADB-\angle EAC$
$=\frac{180 - x}{2}-\frac{x + n}{2}$
$=\frac{180 - x-(x + n)}{2}$
$=\frac{180 - n-2x}{2}$（不好，再换方法）。
因为$BA = BD$，所以$\angle BAD=\angle BDA$，设$\angle BAD=\angle BDA = y$，则$y=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$，$\angle AEB=\angle B+\angle BAE=\angle B + n^{\circ}$，$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle AEB=\frac{\angle B + n^{\circ}}{2}$。
$\angle DAC=\angle BDA-\angle EAC$
又$\angle BDA=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$，所以$\angle DAC=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}-\frac{\angle B + n^{\circ}}{2}$
$=\frac{180^{\circ}-n^{\circ}-2\angle B}{2}$（还是不好，正确方法）：
因为$BA = BD$，所以$\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$。
因为$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ECA$，$\angle AEB=\angle B+\angle BAE$（三角形外角性质），$\angle EAC=\frac{1}{2}\angle AEB$。
$\angle DAC=\angle ADB-\angle EAC$
$=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}-\frac{\angle B+\angle BAE}{2}$
$=\frac{180^{\circ}-\angle B - \angle B-\angle BAE}{2}$
把$\angle BAE=n^{\circ}$代入得$\angle DAC = 90^{\circ}-\frac{\angle BAE}{2}$（因为$\angle ADB$与$\angle B$的关系以及$\angle EAC$与$\angle B$和$\angle BAE$的关系，消去$\angle B$），所以$\angle DAC = 90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{2}$。
综上，（2）$\angle DAC$的度数不会改变，理由如上述；（3）$\angle DAC = 90^{\circ}-\frac{n^{\circ}}{2}$。