《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

5. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 2BC$，在 $CD$ 上取一点 $E$，使 $AE = AB$，则 $\angle DEA$ 的度数为30°。

答案： 5.30°

6. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点 $D$，$BC=\frac{1}{2}AB$，则 $\angle DCB$ 的度数为30°。

答案： 6.30°

7. [2024 新疆]如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 8$。若点 $D$ 在直线 $AB$ 上(不与点 $A$，$B$ 重合)，且 $\angle BCD = 30^{\circ}$，则 $AD$ 的长为6或12。

答案： 7.6或12

8. 如图，$\triangle ABC$ 为等边三角形，$AE = CD$，$AD$，$BE$ 相交于点 $P$，$BQ\perp AD$于点 $Q$，$PQ = 3$，$PE = 1$。
(1) 求证：$BE = AD$；
(2) 求 $AD$ 的长。

答案： 1. （1）证明$BE = AD$：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle BAE=\angle C = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAE=\angle C\\AE = CD\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CAD$。
由全等三角形的性质可知$BE = AD$。
2. （2）求$AD$的长：
因为$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，所以$\angle ABE=\angle CAD$。
又因为$\angle BPD=\angle ABE+\angle BAP$（三角形外角等于不相邻两个内角之和），所以$\angle BPD=\angle CAD+\angle BAP=\angle BAC = 60^{\circ}$。
因为$BQ\perp AD$，在$Rt\triangle BPQ$中，$\angle PBQ = 30^{\circ}$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$BP = 2PQ$。
已知$PQ = 3$，所以$BP=2×3 = 6$。
又因为$PE = 1$，且$BE = BP + PE$，由（1）知$AD = BE$。
所以$AD=6 + 1=7$。
综上，（1）已证$BE = AD$；（2）$AD$的长为$7$。

9. 【几何直观】如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 6cm$，动点 $P$，$Q$ 同时从 $A$，$B$ 两点出发，分别在边 $AB$，$BC$ 上匀速移动，它们的速度分别为 $v_P = 2cm/s$，$v_Q = 1cm/s$，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，$P$，$Q$ 两点同时停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t s$。
(1) 当 $t$ 为何值时，$\triangle PBQ$ 为等边三角形？
(2) 当 $t$ 为何值时，$\triangle PBQ$ 为直角三角形？

答案： 9.
(1)t=2时,△PBQ为等边三角形
(2)t=1.5或t=2.4时,△PBQ为直角三角形