《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC内一点，且DB=DC.求证：AD⊥BC.

答案： 解：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC\\DB = DC\\AD = AD\end{cases}$
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD$（$SSS$）。
则$\angle BAD=\angle CAD$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD\perp BC$。

7. 如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB，分别交CB，AB于点D，E，AC=3，CB=4.若F为直线l上一动点，则△ACF的周长的最小值是(C)

A.4
B.6
C.7
D.10

答案： 7 C

8. 如图，在△ABC中，OM，ON分别是AB，BC边的垂直平分线并交于点O，连接OA，OB，OC.
(1)求证：OA=OB=OC；
(2)判断点O是否在AC边的垂直平分线上，并说明理由.

答案： 1. （1）证明：
因为$OM$是$AB$边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以$OA = OB$。
又因为$ON$是$BC$边的垂直平分线，同理可得$OB = OC$。
由$OA = OB$且$OB = OC$，根据等量代换可得$OA=OB = OC$。
2. （2）解：
点$O$在$AC$边的垂直平分线上。
理由：因为$OA = OC$（已证$OA = OB = OC$），根据线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$O$在$AC$边的垂直平分线上。
综上，（1）已证$OA = OB = OC$；（2）点$O$在$AC$边的垂直平分线上。

9. 【推理能力】如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，交AB，AC分别于点M，N.
(1)若BC=10，求△ADE的周长.
(2)设直线DM，EN交于点O.
①试判断点O是否在BC边的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数.

答案： 1. （1）
解：
因为$DM$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DA = DB$。
同理，因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$EA=EC$。
那么$\triangle ADE$的周长$C_{\triangle ADE}=AD + DE+EA$。
把$AD = DB$，$EA = EC$代入上式得：$C_{\triangle ADE}=DB + DE+EC$。
又因为$DB + DE+EC=BC$，已知$BC = 10$，所以$\triangle ADE$的周长为$10$。
2. （2）①
解：
点$O$在$BC$边的垂直平分线上。
连接$OA$，$OB$，$OC$。
因为$DM$是$AB$的垂直平分线，所以$OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
因为$EN$是$AC$的垂直平分线，所以$OA = OC$。
所以$OB = OC$。
根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点$O$在$BC$边的垂直平分线上。
3. （2）②
解：
因为$\angle BAC=100^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC=180 - 100=80^{\circ}$。
因为$OA = OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA$；因为$OA = OC$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
则$\angle OBA+\angle OCA=\angle OAB+\angle OAC=\angle BAC = 100^{\circ}$。
所以$\angle OBC+\angle OCB=(\angle ABC+\angle ACB)-(\angle OBA+\angle OCA)=80^{\circ}$。
在$\triangle OBC$中，根据三角形内角和定理$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC + \angle OCB)$。
所以$\angle BOC = 180-(80)=160^{\circ}$。
综上，（1）$\triangle ADE$的周长为$10$；（2）①点$O$在$BC$边的垂直平分线上；②$\angle BOC$的度数为$160^{\circ}$。