《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 如图，$AB// CD$，$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，点$E$在$AD$上. 求证：$BC = AB + CD$.

答案： 解：在$BC$上截取$BF = AB$，连接$EF$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle FBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle FBE$中，$\begin{cases}AB = FB\\\angle ABE=\angle FBE\\BE = BE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle FBE$。
所以$\angle A=\angle BFE$。
因为$AB// CD$，所以$\angle A+\angle D = 180^{\circ}$。
又因为$\angle BFE+\angle CFE = 180^{\circ}$，所以$\angle D=\angle CFE$。
因为$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle DCE=\angle FCE$。
在$\triangle DCE$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}\angle D=\angle CFE\\\angle DCE=\angle FCE\\CE = CE\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle DCE\cong\triangle FCE$。
所以$CD = CF$。
因为$BC=BF + CF$，$BF = AB$，$CD = CF$，所以$BC = AB + CD$。
综上，$BC = AB + CD$得证。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB ＞ AC$，$P$是$\angle BAC$的平分线$AD$上任一点. 求证：$AB - AC ＞ PB - PC$.

答案： 1. 首先，在$AB$上截取$AE = AC$，连接$PE$：
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
在$\triangle AEP$和$\triangle ACP$中：
$\left\{\begin{array}{l}AE = AC\\\angle EAP=\angle CAP\\AP = AP\end{array}\right.$（根据角 - 边 - 角$(SAS)$全等判定定理）。
所以$\triangle AEP\cong\triangle ACP$。
由全等三角形的性质可得$PE = PC$。
2. 然后，在$\triangle PBE$中：
根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，即$BE＞PB - PE$。
因为$BE=AB - AE$，且$AE = AC$，$PE = PC$。
解：在$AB$上截取$AE = AC$，连接$PE$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle EAP=\angle CAP$。
在$\triangle AEP$与$\triangle ACP$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AC\\\angle EAP=\angle CAP\\AP = AP\end{array}\right.$，根据$SAS$定理，$\triangle AEP\cong\triangle ACP$。
所以$PE = PC$。
在$\triangle PBE$中，根据三角形三边关系$BE＞PB - PE$。
又因为$BE = AB - AE$，$AE = AC$，$PE = PC$，所以$AB - AC＞PB - PC$。
综上，$AB - AC＞PB - PC$得证。