《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

6. 若$x$是非负整数，则表示$\frac{2x}{x + 2}-\frac{x^{2}-4}{(x + 2)^{2}}$的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是(B)


A.①
B.②
C.③
D.①或②

答案： 6.B

7. 为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置。经测算，原来$a$天用水$b$t，现在这些水可多用$4$天，则现在每天比原来少用水$\frac{4b}{a^2 + 4a}$t。

答案： 7.$\frac{4b}{a^2 + 4a}$

8. 已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$，则代数式$\frac{3x - 20xy - 3y}{x - 2xy - y}$的值为5。

答案： 8.5

9. 先化简，再求值：$\frac{16}{a^{2}-4}+\frac{a + 2}{a - 2}-\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}$，其中$a$是不等式组$\begin{cases}x - 1\geq3 - x,\\3x - 1\lt2x + 3\end{cases}$的最大整数解。

答案： 9.$\frac{8}{a - 2}$ 原式=8

10. 【应用意识，运算能力】将$a$g 糖放入一杯水中，得到$b$g 糖水($b\gt a\gt0$)。
(1)该糖水的浓度为( )
A. $\frac{a}{a + b}×100\%$
B. $\frac{a}{b}×100\%$
C. $\frac{b}{a}×100\%$
(2)再往杯中加入$m(m\gt0)$g 糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_______；
(3)请说明(2)中的不等式成立。

答案： $(1)$ 答案
根据浓度的定义：浓度$=\frac{溶质质量}{溶液质量}×100\%$，已知糖（溶质）的质量是$a$ $g$，糖水（溶液）质量是$b$ $g$，所以该糖水的浓度为$\frac{a}{b}×100\%$，答案选$B$。
$(2)$ 答案
加糖前浓度为$\frac{a}{b}×100\%$，加糖后糖的质量变为$(a + m)$ $g$，糖水质量变为$(b + m)$ $g$，则加糖后浓度为$\frac{a + m}{b + m}×100\%$，因为糖水更甜了，即浓度变大了，所以不等式为$\frac{a + m}{b + m}＞\frac{a}{b}$。
$(3)$ 解（证明）
要证明$\frac{a + m}{b + m}＞\frac{a}{b}$（$b＞a＞0$，$m＞0$），可通过作差法来证明：
$\begin{aligned}\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a + m)-a(b + m)}{b(b + m)}\\&=\frac{ab+bm - ab - am}{b(b + m)}\\&=\frac{bm - am}{b(b + m)}\\&=\frac{m(b - a)}{b(b + m)}\end{aligned}$
因为$b＞a＞0$，$m＞0$，所以$b - a＞0$，$m＞0$，$b＞0$，$b + m＞0$，那么$\frac{m(b - a)}{b(b + m)}＞0$，即$\frac{a + m}{b + m}-\frac{a}{b}＞0$，所以$\frac{a + m}{b + m}＞\frac{a}{b}$，不等式成立。
综上，$(1)$选$B$；$(2)$$\frac{a + m}{b + m}＞\frac{a}{b}$；$(3)$通过作差法证明了不等式成立。