《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册湘教版》

1. 等边三角形的性质
(1) 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所有的性质；
(2) 等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴；
(3) 等边三角形的各角都等于______。(性质定理)

答案： 1.
(2)3
(3)60°

2. 等边三角形的判定
(1) 三个角都的三角形是等边三角形；
(2) 有一个角是 $60^{\circ}$ 的三角形是等边三角形。

答案： 2.
(1)相等
(2)等腰

例 1 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$BC\perp CD$ 且 $AC = CD$，则 $\angle BAD$ 的度数是。
【思路分析】先根据等边三角形的性质得出 $\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}$，再由 $BC\perp CD$ 可知 $\angle BCD = 90^{\circ}$，进而可得出 $\angle ACD$ 的度数。根据 $AC = CD$ 即可得出 $\angle DAC$ 的度数，进而求得 $\angle BAD$ 的度数。

答案： $\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = BC$。
$\because BC\perp CD$，
$\therefore \angle BCD = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle ACD=\angle BCD - \angle ACB=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because AC = CD$，
$\therefore \triangle ACD$是等腰三角形。
$\therefore \angle DAC=\frac{180^{\circ}-\angle ACD}{2}=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。
$\therefore \angle BAD=\angle DAC - \angle BAC=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ}$。
$15^{\circ}$

例 2 如图，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，若 $OA = OB$，$\angle A = 60^{\circ}$，且 $AB// CD$。求证：$\triangle OCD$ 是等边三角形。
 

答案： 证明：
∵ $OA = OB$，$\angle A = 60°$，
∴ $\triangle AOB$ 是等边三角形（有一个角是 $60°$ 的等腰三角形是等边三角形），
∴ $\angle A = \angle B = \angle AOB = 60°$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle C = \angle A = 60°$，$\angle D = \angle B = 60°$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $\angle DOC = \angle AOB = 60°$（对顶角相等），
∴ $\angle D = \angle C = \angle DOC = 60°$，
∴ $\triangle OCD$ 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。

1. [2024 泰安]如图，直线 $l// m$，等边 $\triangle ABC$ 的两个顶点 $B$，$C$ 分别落在直线 $l$，$m$ 上。若 $\angle ABE = 21^{\circ}$，则 $\angle ACD$ 的度数是(B)

A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： 1.B

2. 【教材 P135 第 4 题改编】如图，$BD$ 是等边 $\triangle ABC$ 的边 $AC$ 上的高，以点 $D$ 为圆心，$DB$ 长为半径作弧交 $BC$ 的延长线于点 $E$，则 $\angle DEC$ 的度数为(C)

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图，在等边 $\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，点 $P$ 在边 $BC$ 上，当线段 $AP$ 的值最小时，$BP$ 的长为3。

答案： 3.3

4. 如图，$AD$ 是等边 $\triangle ABC$ 的角平分线，以 $AD$ 为斜边作等腰 $Rt\triangle ADE$，且 $\angle AED = 90^{\circ}$，则 $\angle EAC$ 的度数为15°。

答案： 4.15°

5. 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路($B$，$C$ 为小路端点)和一棵小树($A$ 为小树位置)。测得的相关数据为 $\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$BC = 48m$，则 $AC$ 的长为(B)

A.$45m$
B.$48m$
C.$50m$
D.$52m$

答案： 5.B

6. 如图，客轮在灯塔的正北方 $20km$ 处，货轮在灯塔北偏东 $60^{\circ}$ 的方向上，距离灯塔 $20km$ 处，则客轮与货轮的距离是20 $km$。

答案： 6.20